Sottospazio vettoriale di $M^{2}$ su $CC$
Vi chiedo ancora un po di pazienza ragazzi ma siete l'unico foro serio su questo campo! 
Propongo un altro esercizio in cui chiedo la vostra collaborazione...
In $M^{2}$ è dato il sottoinsieme
$W={( ( alpha , beta ),( gamma , delta ) ) ; delta=-bar( alpha), beta+bar( gamma)=0 }$
Stabilire se $W$ è sottospazio di $M^{2}CC$ sia sul campo complesso che reale
Quando la risposta è affermativa determinare base e dimensione
Attendo ancora le vostre delucidazioni
Grazie
Propongo un altro esercizio in cui chiedo la vostra collaborazione...
In $M^{2}$ è dato il sottoinsieme
$W={( ( alpha , beta ),( gamma , delta ) ) ; delta=-bar( alpha), beta+bar( gamma)=0 }$
Stabilire se $W$ è sottospazio di $M^{2}CC$ sia sul campo complesso che reale
Quando la risposta è affermativa determinare base e dimensione
Attendo ancora le vostre delucidazioni
Grazie
Risposte
Ciao geckissimo.
Io proverei con la definizione:
Prendi due generiche matrici $A=((a,b),(c,d))$ e $A_1=((a_1,b_1),(c_1,d_1))$ in $W$ e uno scalare $k\in RR$.
Controlli se $A+A_1\in W$ e $kA\in W$.
Se ciò è vero per ogni coppia di matrici $A,A_1$ e per ogni scalare $k\in RR$, allora $W$ è un $RR$-spazio vettoriale.
Discorso analogo per $CC$.
Ti anticipo che scoprirai che $W$ è un $RR$-sottospazio vettoriale, ma non un $CC$-sottospazio vettoriale.
(Quindi dovrai esibire una matrice $X\in W$ e uno scalare $lambda\in CC$, tale che $lambda X !in W$)
Se ci sono problemi fammi sapere.
Io proverei con la definizione:
Prendi due generiche matrici $A=((a,b),(c,d))$ e $A_1=((a_1,b_1),(c_1,d_1))$ in $W$ e uno scalare $k\in RR$.
Controlli se $A+A_1\in W$ e $kA\in W$.
Se ciò è vero per ogni coppia di matrici $A,A_1$ e per ogni scalare $k\in RR$, allora $W$ è un $RR$-spazio vettoriale.
Discorso analogo per $CC$.
Ti anticipo che scoprirai che $W$ è un $RR$-sottospazio vettoriale, ma non un $CC$-sottospazio vettoriale.
(Quindi dovrai esibire una matrice $X\in W$ e uno scalare $lambda\in CC$, tale che $lambda X !in W$)
Se ci sono problemi fammi sapere.
Ho corretto il testo...
Allora forse ho capito dove sta il mio problema...
Quando considero due matrici generiche e devo vedere che la somma appartenga ancora effettivamente a $W$ così come il prodotto per uno scalare $k$ non devo applicare le condizioni che identificano lo spazio $W$ ovvero verificare che $delta+delta_1 = -bar(alpha) - bar(alpha_1)$ e che $beta + beta_1 + bar(gamma)+bar(gamma_1) =0$ ?
tenendo presente che $alpha in RR hArr bar(alpha)=alpha rArr b=0$ ovvero $a+i0 in RR$
...questo l'avevo un po immaginato cmq grazie della conferma
"cirasa":
Ciao geckissimo.
Io proverei con la definizione:
Prendi due generiche matrici $A=((a,b),(c,d))$ e $A_1=((a_1,b_1),(c_1,d_1))$ in $W$ e uno scalare $k\in RR$.
Controlli se $A+A_1\in W$ e $kA\in W$.
Se ciò è vero per ogni coppia di matrici $A,A_1$ e per ogni scalare $k\in RR$, allora $W$ è un $RR$-spazio vettoriale.
Allora forse ho capito dove sta il mio problema...
Quando considero due matrici generiche e devo vedere che la somma appartenga ancora effettivamente a $W$ così come il prodotto per uno scalare $k$ non devo applicare le condizioni che identificano lo spazio $W$ ovvero verificare che $delta+delta_1 = -bar(alpha) - bar(alpha_1)$ e che $beta + beta_1 + bar(gamma)+bar(gamma_1) =0$ ?
"cirasa":
Ti anticipo che scoprirai che $W$ è un $RR$-sottospazio vettoriale, ma non un $CC$-sottospazio vettoriale.
(Quindi dovrai esibire una matrice $X\in W$ e uno scalare $lambda\in CC$, tale che $lambda X !in W$)
Se ci sono problemi fammi sapere.
tenendo presente che $alpha in RR hArr bar(alpha)=alpha rArr b=0$ ovvero $a+i0 in RR$
...questo l'avevo un po immaginato cmq grazie della conferma
"geckissimo":
In $M^{2}$ è dato il sottoinsieme
$W={( ( alpha , beta ),( gamma , delta ) ) ; delta=-bar( alpha), beta+bar( gamma)=0 }$
Stabilire se $W$ è sottospazio di $M^{2}CC$ sia sul campo complesso che reale
Quando la risposta è affermativa determinare base e dimensione
Ho provato a risolverlo e penso sia corretto...
dati i vettori
$u in W;delta=-bar( alpha)$ e $beta+bar( gamma)=0$
$u_1 in W;delta_1=-bar( alpha_1)$ e $beta_1+bar( gamma_1)=0$
$u+u_1 in W hArr delta+delta_1=-(bar( alpha+alpha_1))$ e $(beta+beta_1)+(bar( gamma+gamma_1))=0$
per la proprieta dei coniugati si verifica che $delta+delta_1=-(bar( alpha+alpha_1))=-bar( alpha)-bar( alpha_1)$
stesso discorso per l'altra condizione: è additivamente stabile
consideriamo adesso un $lambda$ appartenente sia a $RR$ che $CC$
$lambda u =lambda delta=-bar( lambda alpha) in W?$
$lambda bar(alpha) = bar(lambda) bar(alpha)=bar( lambda alpha)$ ma $lambda=bar(lambda) hArr lambda in RR$
analogo discorso per l'altra condizione!
Pertanto, come profetizzato da cirasa,
"cirasa":
anticipo che scoprirai che W è un ℝ-sottospazio vettoriale, ma non un ℂ-sottospazio vettoriale.
Per concludere
$W={( ( alpha , -bar(gamma) ),( gamma , -bar(alpha) ) ); alpha, gamma in CC}$
ovvero
$W={( ( a+ib , -(c-id) ),( c+id , -(a-ib) ) ); a,b,c,d in RR}$
A questo punto è banale trovare una $Bw$
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