Sottospazio vettoriale definito da equazioni cartesiane con parametro
Ciao ragazzi,
innanzitutto vi faccio i miei complimenti per il forum.
Non sono mai intervenuto poiché ho sempre trovato la soluzione ai miei dubbi, ma non è questo il caso.
Mi viene chiesto, in un esercizio di algebra, di trovare la base di un sottospazio Wh così definito:
Wh = (x,y,z,t) (x + y + z = x - y +z = x + y + (h + 1) z = 0)
Il parametro h viene dato per svolgere altri punti sui quali non ho problemi.
Il metodo che ho sempre usato è quello di mettere a sistema le equazioni, assegnare alle incognite dei parametri a,b,c e svolgere il tutto trovando una soluzione in funzione dei parametri, e trovare i vettori generatori.
Il problema è che in questo caso, se vado a svolgere il sistema, le incognite mi si annullano.
Sicuramente mi sfugge qualcosa..
Qualcuno riuscirebbe a darmi una mano?
Domani ho l'esame e non vorrei mangiarmi le mani se magari per un dubbio non chiarito non riuscissi a svolgere un esercizio.
Grazie
innanzitutto vi faccio i miei complimenti per il forum.
Non sono mai intervenuto poiché ho sempre trovato la soluzione ai miei dubbi, ma non è questo il caso.
Mi viene chiesto, in un esercizio di algebra, di trovare la base di un sottospazio Wh così definito:
Wh = (x,y,z,t) (x + y + z = x - y +z = x + y + (h + 1) z = 0)
Il parametro h viene dato per svolgere altri punti sui quali non ho problemi.
Il metodo che ho sempre usato è quello di mettere a sistema le equazioni, assegnare alle incognite dei parametri a,b,c e svolgere il tutto trovando una soluzione in funzione dei parametri, e trovare i vettori generatori.
Il problema è che in questo caso, se vado a svolgere il sistema, le incognite mi si annullano.
Sicuramente mi sfugge qualcosa..
Qualcuno riuscirebbe a darmi una mano?
Domani ho l'esame e non vorrei mangiarmi le mani se magari per un dubbio non chiarito non riuscissi a svolgere un esercizio.
Grazie
Risposte
Non avevo letto bene , le variabili sono 4 e non 3 !!!
Abbiamo 3 variabili e 3 relazioni, dobbiamo vedere se sono tra loro indipendenti o no.
Scrivo la matrice $ A= ((1,1,1),(1,-1,1),(1,1,(h+1)))$ e ne calcolo il determinante che risulta essere:
$ det A = -2h$.
Quindi se $h ne 0 $ allora abbiamo che le tre relazioni sono tra lori indipendenti, abbiamo 3 variabili e allora esse determinano $RR^3=W_h $, per cui una base è $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$.
Se $h=0 $ l'ultima relazione è uguale alla prima e la eliminiamo; il rango della matrice è 2 , quindi abbiamo solo 2 relazioni indipendenti , sarà $Dim W_0 = 2 $ .
Sommando la prima e la seconda relazione ottengo : $ x+z =0 rarr z=-x $ , di conseguenza $W_0= ( x,y,-x)$ e una base sarà: $(1,0,-1),(0,1,0)$
N.B. MI sono accorto ora che il sottospazio $W $ include 4 variabili e non solo 3 .Va tutto rivisto !!!
Abbiamo 3 variabili e 3 relazioni, dobbiamo vedere se sono tra loro indipendenti o no.
Scrivo la matrice $ A= ((1,1,1),(1,-1,1),(1,1,(h+1)))$ e ne calcolo il determinante che risulta essere:
$ det A = -2h$.
Quindi se $h ne 0 $ allora abbiamo che le tre relazioni sono tra lori indipendenti, abbiamo 3 variabili e allora esse determinano $RR^3=W_h $, per cui una base è $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$.
Se $h=0 $ l'ultima relazione è uguale alla prima e la eliminiamo; il rango della matrice è 2 , quindi abbiamo solo 2 relazioni indipendenti , sarà $Dim W_0 = 2 $ .
Sommando la prima e la seconda relazione ottengo : $ x+z =0 rarr z=-x $ , di conseguenza $W_0= ( x,y,-x)$ e una base sarà: $(1,0,-1),(0,1,0)$
N.B. MI sono accorto ora che il sottospazio $W $ include 4 variabili e non solo 3 .Va tutto rivisto !!!
"Camillo":
Non avevo letto bene , le variabili sono 4 e non 3 !!!
Grazie Camillo, quindi posso applicare lo stesso ragionamento impostando una matrice a 4 variabili, includendo la variabile t?
In questo caso, nella sua colonna devo metterci 0,0,0?
Sì .
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