Sottospazio vettoriale?

[lantis]

ciao ragazzi..

x caso mi sapreste dire x favore come si risolve questo esercizio?

si dica se l'insieme S=[(a,a-b+1,b-1) : a,b appartengono a R] è un sottospazio vettoriale di R^3

[Camillo]

Per essere un sottospazio vettoriale (di $RR^3$) deve essere chiuso rispetto alle operazioni di somma e prodotto per uno scalare.
Prova a moltiplicare il generico elemento dell'insieme S per uno scalare $k in RR $ e verificare se il vettore così ottenuto è ancora appartenente a S .
Se no allora S non è un sottospazio vettoriale ; se sì allora devi verificare che la somma di vettori di S appartenga ancora ad S .

[lantis]

grazie

[cozzataddeo]

Perfetto, naturalmente, il consiglio di Camillo.
Suggerisco una via alternativa che a volte è piú rapida.
Il generico vettore del tuo insieme può essere riscritto come segue

$(a,a-b+1,b-1)=(0,1,-1)+(a,a,0)+(0,-b,b)=(0,1,-1)+a(1,1,0)+b(0,-1,1) \quad \forall a,b \in RR$

In altre parole il vettore può essere scomposto nella somma del vettore costante $(0,1,-1)$ e di un generico vettore del sottospazio generato da $(1,1,0)$ e $(0,-1,1)$. In sintesi si può scrivere

$(a,a-b+1,b-1)=(0,1,-1)+<(1,1,0),(0,-1,1)>$

Si può dimostrare che il precedente insieme costituisce un sottospazio di $RR^3$ se e solo se risulta

$(0,1,-1) \in <(1,1,0),(0,-1,1)>$

il che equivale a verificare se esistono $\alpha, \beta \in RR$ non entrambi nulli tali che

$(0,1,-1)=\alpha(1,1,0)+\beta(0,-1,1)$

In questo caso la verifica è praticamente immediata...