Sottospazio vettoriale

[hark]

In R4 si consideri il sottospazio vettoriale

W={(X[size=75]1[/size],X[size=75]2[/size],X[size=75]3[/size],X[size=75]4[/size])| X[size=75]1[/size]+2X[size=75]2[/size]+2X[size=75]3[/size]+X[size=75]4[/size]=0}

Trovare una base ortonormale di W.

Io ho trovato la Base:

a(1,0,0,-2)+b(0,1,0,-2)+c(0,0,1,-1)

è giusta?

Inoltre se volessi calcolare la dimensione di W ortogonale = 4(dimR) - 3(dimW) = 1(dimWort.)

[_Tipper]

La base non va bene, il primo e il terzo vettore non appartengono allo spazio W. Se scrivi l'equazione come:

$x_1=-2x_2-2x_3-x_4$, e poni $x_2=\alpha$, $x_3=\beta$, $x_4=\gamma$, hai $x_1=-2\alpha-2\beta-\gamma$, il generico vettore di W si scrive come:

$((-2\alpha-2\beta-\gamma),(\alpha),(\beta),(\gamma))=\alpha((-2),(1),(0),(0)) + \beta((-2),(0),(1),(0)) + \gamma ((-1),(0),(0),(1))$

Questi tre vettori formano una base di W, se vuoi trovare una base ortonormale ti basta seguire passo passo il procedimento di Gram-Schmidt.

Dato che la dimensione di W è $3$, e W è un sottospazio di $\mathbb{R}^4$, allora la dimensione del complemento ortogonale è $1$.