Sottospazio vettoriale

[zio_mangrovia]

Dato il vettore $x=(1,−1,0)$ e l’insieme $X=(−1,−1,0)+⟨(−1,0,1),(1,0,1)⟩$

ho pensato di risolvere il sistema in questo modo per capire se $x$ appartiene all'insieme $X$:

$X=(−1,−1,0)+alpha(−1,0,1)+\beta(1,0,1)=(1,−1,0)$ dove ottengo $\alpha=-1$ e $\beta=1$ pertanto il sistema ha soluzione e $x$ appartiene all'insieme.

Non capisco perché nella soluzione si afferma: $X$ non è un sottospazio vettoriale di $RR^3$ e $x ∈ X$
La prima affermazione in rosso non mi è chiara.

[anto_zoolander]

Com’è definita quella ‘somma’ tra il punto e lo spazio?

E sopratutto qual è una condizione necessaria affinché $X$ sia un sottospazio vettoriale?

[zio_mangrovia]

"anto_zoolander":Com’è definita quella ‘somma’ tra il punto e lo spazio?

dovrebbe essere il punto più una combinazione lineare dei due vettori, ma mi sa che ho frainteso la domanda.

E sopratutto qual è una condizione necessaria affinché $X$ sia un sottospazio vettoriale?[/quote]
uno spazio vettoriale è definito se definita la somma tra vettori ed il loro prodotto scalare.

[anto_zoolander]

Il problema di fondo è che bisogna definire una buona differenza di punti o una buona somma tra un punto ed un vettore. Questo dovrebbe portarti all’idea che parliamo di spazi affini, no?

In particolare se è chiuso rispetto al prodotto per scalare, allora deve contenere il vettore nullo.

[zio_mangrovia]

"anto_zoolander":Il problema di fondo è che bisogna definire una buona differenza di punti o una buona somma tra un punto ed un vettore. Questo dovrebbe portarti all’idea che parliamo di spazi affini, no?

Ok mi torna che si parli di spazi affini

"anto_zoolander":In particolare se è chiuso rispetto al prodotto per scalare, allora deve contenere il vettore nullo.

Quindi tornando all'esempio il vettore $(1,−1,0)$ non risponde ai requisiti perché non esiste il vettore nullo ma soddisferebbe la somma e prodotto per uno scalare, giusto?
Questo perché $(1,−1,0)$ può essere sommato a sé stesso e si otterrebbe sempre un vettore in $RR^3$ come pure moltiplicandolo per un qualsiasi scalare da cui si si otterrebbe sempre un vettore in $RR^3$
Ma manca il vettore nullo.

Osservazioni corrette?

[zio_mangrovia]

Secondo voi è giusto quello che ho detto?