Sottospazio vettoriale
Ciao a tutti, ho questo quesito:
Mostrare che l'insieme W delle matrici 2 x 2 è un sottospazio vettoriale dello spazio delle matrici reali 2 x 2.
\begin{equation*}
W =
\begin{pmatrix}
3a & -a+b \\
a & -2a+b \\
\end{pmatrix}
\end{equation*}
con a e b appartenenti ad R.
Il mio procedimento è questo. Riscrivo la matrice come
\begin{equation*}
a
\begin{pmatrix}
3 & -1 \\
1 & -2 \\
\end{pmatrix} + b
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\end{equation*}
Le due matrici sono tra loro linearmente indipendenti, di conseguenza determino la dimensione dello spazio di una sola, ad esempio la prima. A questo punto non riesco però a capire se ha dimensione 2 o 4.
In teoria i pivot sono 2, quindi la dimensione è 2?
Mostrare che l'insieme W delle matrici 2 x 2 è un sottospazio vettoriale dello spazio delle matrici reali 2 x 2.
\begin{equation*}
W =
\begin{pmatrix}
3a & -a+b \\
a & -2a+b \\
\end{pmatrix}
\end{equation*}
con a e b appartenenti ad R.
Il mio procedimento è questo. Riscrivo la matrice come
\begin{equation*}
a
\begin{pmatrix}
3 & -1 \\
1 & -2 \\
\end{pmatrix} + b
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\end{equation*}
Le due matrici sono tra loro linearmente indipendenti, di conseguenza determino la dimensione dello spazio di una sola, ad esempio la prima. A questo punto non riesco però a capire se ha dimensione 2 o 4.
In teoria i pivot sono 2, quindi la dimensione è 2?
Risposte
Beh, per mostrare che si tratta di un sottospazio, devi mostrare essenzialmente due cose. Non ti chiede nessuna dimensione o altro...
1. $0_(MM_2,2) in W$
2. $alphav + betaw in W$, dove con $v,w$ indico due matrici del sottospazio. Questa condizione è detta chiusura per combinazioni lineari.
La prima è evidente che è soddisfatta.
La seconda si fa in un passaggio
1. $0_(MM_2,2) in W$
2. $alphav + betaw in W$, dove con $v,w$ indico due matrici del sottospazio. Questa condizione è detta chiusura per combinazioni lineari.
La prima è evidente che è soddisfatta.
La seconda si fa in un passaggio
Cosa significa il punto 1? E il punto 2 non è quello che ho gia impostato io?
Lo $0$ della matrici reali, o meglio, la matrice identicamente nulla, appartiene a $W$ ?
Il punto 2 sinceramente potrebbe andare bene fino a quando però non parli di dimensione. Lì non capisco cosa c'entri.
Il punto 2 sinceramente potrebbe andare bene fino a quando però non parli di dimensione. Lì non capisco cosa c'entri.
Come faccio a capire se la matrice nulla appartiene a W?
E nel punto 2 se una delle due matrici ha dimensione 2 allora significa che è un sottospazio delle matrici 2x2, giusto?
Per quello cercavo di determinarne la dimensione.
E nel punto 2 se una delle due matrici ha dimensione 2 allora significa che è un sottospazio delle matrici 2x2, giusto?
Per quello cercavo di determinarne la dimensione.
Esistono dei valori di $a,b$ per cui una matrice di $W$ sia composta da soli zeri?
Per il punto $2$ ora ho capito. Va bene, anche se, a essere sincero, di solito si fa in un altro modo.
Prendi due matrici che stanno in $W$ e le sommi: $ | ( 3a , -a+b ),( a , -2a+b ) | +| ( 3c , -c+d ),( c , -2c+d ) | =| ( 3(a+c) , -a+b-c+d ),( a+c , -2(a+c)+b+d ) | $
Come vedi la matrice risultante sta ancora in $W$, dal momento che $a,b$ sono reali.
Stessa cosa moltiplicando per due scalari.
Per il punto $2$ ora ho capito. Va bene, anche se, a essere sincero, di solito si fa in un altro modo.
Prendi due matrici che stanno in $W$ e le sommi: $ | ( 3a , -a+b ),( a , -2a+b ) | +| ( 3c , -c+d ),( c , -2c+d ) | =| ( 3(a+c) , -a+b-c+d ),( a+c , -2(a+c)+b+d ) | $
Come vedi la matrice risultante sta ancora in $W$, dal momento che $a,b$ sono reali.
Stessa cosa moltiplicando per due scalari.
Se io ho a e b uguali a 0 ottengo la matrice nulla? Quindi i valori sono a = 0 e b = 0 ?
Yes
Ottimo grazie!
di nulla
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