Sottospazio vettoriale!
Ciao a tutti. Il seguente esercizio afferma: "Cosa genera in $R^3$ il seguente sistema di vettori? Determinare l'equazione cartesiana che caratterizzi il sottospazio generato. $(-2,1,0) (3,0,7) (1,1,1) (-5,1-1)$."
Calcolando il rango della matrice incompleta, ottengo rango uguale a 3. Ora considerando la codimensione del sottospazio pari ad $n-p$, ovvero $3-3$, ottengo zero. Dunque zero sono le equazioni cartesiane del mio sottospazio.
Questo è il mio ragionamento. Ma come è possibile che un sottospazio sia rappresentato da zero equazioni? Se allora non si può parlare di sottospazio, di cosa si tratta? Generalmente ho sempre saputo risolvere questo tipo di esercizi, ma in questo caso mi sembra tutto un po' strano!
grazie a tutti...
Calcolando il rango della matrice incompleta, ottengo rango uguale a 3. Ora considerando la codimensione del sottospazio pari ad $n-p$, ovvero $3-3$, ottengo zero. Dunque zero sono le equazioni cartesiane del mio sottospazio.
Questo è il mio ragionamento. Ma come è possibile che un sottospazio sia rappresentato da zero equazioni? Se allora non si può parlare di sottospazio, di cosa si tratta? Generalmente ho sempre saputo risolvere questo tipo di esercizi, ma in questo caso mi sembra tutto un po' strano!
grazie a tutti...
Risposte
Se la matrice ha rango 3 , allora vuol dire che quei vettori generano $RR^3$; non sono però una base di $RR^3$, per esserlo bisognerebbe che fossero 3 vettori linearmente indipendenti
"Penna":
Ciao a tutti. Il seguente esercizio afferma: "Cosa genera in $R^3$ il seguente sistema di vettori? Determinare l'equazione cartesiana che caratterizzi il sottospazio generato. $(-2,1,0) (3,0,7) (1,1,1) (-5,1-1)$."
Calcolando il rango della matrice incompleta, ottengo rango uguale a 3. Ora considerando la codimensione del sottospazio pari ad $n-p$, ovvero $3-3$, ottengo zero. Dunque zero sono le equazioni cartesiane del mio sottospazio.
Questo è il mio ragionamento. Ma come è possibile che un sottospazio sia rappresentato da zero equazioni? Se allora non si può parlare di sottospazio, di cosa si tratta? Generalmente ho sempre saputo risolvere questo tipo di esercizi, ma in questo caso mi sembra tutto un po' strano!
grazie a tutti...
scusa la domanda, tu per codimensione cosa intendi? cioè quando hai scritto $n-p =3-3$ hai applicato il teo. della dimensione?
"Camillo":
Se la matrice ha rango 3 , allora vuol dire che quei vettori generano $RR^3$; non sono però una base di $RR^3$, per esserlo bisognerebbe che fossero 3 vettori linearmente indipendenti
Quindi non generano un sottospazio ma tutto $R^3$? Allora il testo dell'esercizio dovrebbe essere sbagliato, perché da per scontato che generano un sottospazio, dal momento che mi chiede di trovarne le equazioni.
"Mos":
[quote="Penna"]Ciao a tutti. Il seguente esercizio afferma: "Cosa genera in $R^3$ il seguente sistema di vettori? Determinare l'equazione cartesiana che caratterizzi il sottospazio generato. $(-2,1,0) (3,0,7) (1,1,1) (-5,1-1)$."
Calcolando il rango della matrice incompleta, ottengo rango uguale a 3. Ora considerando la codimensione del sottospazio pari ad $n-p$, ovvero $3-3$, ottengo zero. Dunque zero sono le equazioni cartesiane del mio sottospazio.
Questo è il mio ragionamento. Ma come è possibile che un sottospazio sia rappresentato da zero equazioni? Se allora non si può parlare di sottospazio, di cosa si tratta? Generalmente ho sempre saputo risolvere questo tipo di esercizi, ma in questo caso mi sembra tutto un po' strano!
grazie a tutti...
scusa la domanda, tu per codimensione cosa intendi? cioè quando hai scritto $n-p =3-3$ hai applicato il teo. della dimensione?[/quote]
n è la dimensione di $R^3$ e p il rango della matrice incompleta calcolata con i vettori dati!
ok quindi per codimensione intendi la dimensione del nucleo della matrice associata?
cioè non ho capito se hai applicato il teorema della nullità o della dimensione o del rango o come lo si voglia chiamare..
altrimenti sono proprio fuori strada
cioè non ho capito se hai applicato il teorema della nullità o della dimensione o del rango o come lo si voglia chiamare..
altrimenti sono proprio fuori strada
E' come dice Mos. Si verifica facilmente che :
$(-5,1,-1)=2 cdot (-2,1,0)+0 cdot (3,0,7)-1 cdot (1,1,1)$
Pertanto i primi 3 vettori sono, tra quelli dati, lin.ind. L'equazione cartesiana del sottospazio che così si viene a determinare è semplicemente quella del piano passante per i 3 punti anzidetti, ovvero ;
$x-16y-3z+18=0$
$(-5,1,-1)=2 cdot (-2,1,0)+0 cdot (3,0,7)-1 cdot (1,1,1)$
Pertanto i primi 3 vettori sono, tra quelli dati, lin.ind. L'equazione cartesiana del sottospazio che così si viene a determinare è semplicemente quella del piano passante per i 3 punti anzidetti, ovvero ;
$x-16y-3z+18=0$
sisi io volevo solo spiegargli perchè gli veniva l'assurdo di sottospazio dato da zero equazioni cartesiane
"Mos":
ok quindi per codimensione intendi la dimensione del nucleo della matrice associata?
cioè non ho capito se hai applicato il teorema della nullità o della dimensione o del rango o come lo si voglia chiamare..
altrimenti sono proprio fuori strada
Guarda, io sono pervenuta all'assurdo svolgendo l'esercizio come fa lui http://www.dmmm.uniroma1.it/~manlio.bor ... ospazi.pdf
Però ancora non capisco che c'è di sbagliato
"ciromario":
E' come dice Mos. Si verifica facilmente che :
$(-5,1,-1)=2 cdot (-2,1,0)+0 cdot (3,0,7)-1 cdot (1,1,1)$
Pertanto i primi 3 vettori sono, tra quelli dati, lin.ind. L'equazione cartesiana del sottospazio che così si viene a determinare è semplicemente quella del piano passante per i 3 punti anzidetti, ovvero ;
$x-16y-3z+18=0$
Scusami ma se abbiamo 3 vettori L.I., e stiamo lavorando in $R^3$, non generano tutto lo spazio vettoriale?
Come fai a dire che generano un sottospazio rappresentato da un piano passante per tre punti?
@Penna
Hai perfettamente ragione: ho equivocato sulle dimensione dello spazio di partenza. Per com'è la consegna non c'è molto da dire: il sottospazio generato è tutto $mathbb{R^3}$ ( a meno che non ci sia qualche refuso...).
Hai perfettamente ragione: ho equivocato sulle dimensione dello spazio di partenza. Per com'è la consegna non c'è molto da dire: il sottospazio generato è tutto $mathbb{R^3}$ ( a meno che non ci sia qualche refuso...).
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