Sottospazio vettoriale
Ciao, sto cercando di fare questo esercizio, però non ho il risultato, quindi non so se quello che sto facendo è giusto, qualcuno può aiutarmi per favore?
Ho due sottospazi in $RR^3$, U = { x-z =0} e V = { z = 0} mi chiede di trovare una base di V, U, V+U e U $nn$ V.
Ho trovato:
B(V) = {$((1),(0),(0)),((0),(1),(0))$}
B(U) = {$((1),(0),(1)),((0),(1),(0))$}
B(U $nn$ V) = {$((0),(1),(0))$}
B (V+U) = {$((1),(0),(0)),((0),(1),(0)), ((1),(0),(1))$}
Poi mi dice che W $sube$ End ($RR^3$) e W = { f(U) $sube$ V, f(V) $sube$ U}
1. provare che W è un sottospazio vettoriale dello spazio degli endomorfismi di $RR^3$;
2. trovare la matrice che rappresenta il generico f $in$ W rispetto alla base standard di $RR^3$.
dubbi:
W non è l'intersezione tra i due sottospazi? di conseguenza se U e V sono due sottospazi di $RR^3$ anche la loro intersezione è un sottospazio di $RR^3$ ...???
la matrice che rappresenta un generico f in $RR^3$ non è la base canonica in $RR^3$ ...???
Grazie
Ho due sottospazi in $RR^3$, U = { x-z =0} e V = { z = 0} mi chiede di trovare una base di V, U, V+U e U $nn$ V.
Ho trovato:
B(V) = {$((1),(0),(0)),((0),(1),(0))$}
B(U) = {$((1),(0),(1)),((0),(1),(0))$}
B(U $nn$ V) = {$((0),(1),(0))$}
B (V+U) = {$((1),(0),(0)),((0),(1),(0)), ((1),(0),(1))$}
Poi mi dice che W $sube$ End ($RR^3$) e W = { f(U) $sube$ V, f(V) $sube$ U}
1. provare che W è un sottospazio vettoriale dello spazio degli endomorfismi di $RR^3$;
2. trovare la matrice che rappresenta il generico f $in$ W rispetto alla base standard di $RR^3$.
dubbi:
W non è l'intersezione tra i due sottospazi? di conseguenza se U e V sono due sottospazi di $RR^3$ anche la loro intersezione è un sottospazio di $RR^3$ ...???
la matrice che rappresenta un generico f in $RR^3$ non è la base canonica in $RR^3$ ...???
Grazie
Risposte
Le basi direi che sono giuste..
Anch'io sono spesso impreciso e ho dei lapsus quando scrivo al pc, ma mi permetto di dirti che ti conviene provare a scrivere meglio, perché eviteresti certi errori!
Ad esempio, se avessi scritto $W={ f : RR^3 \rightarrow RR^3 | f^i(U) ⊆ V, f^i(V) ⊆ U}$, forse non avresti detto che $W$ è l'intersezione dei due sottospazi, rendendoti conto che i suoi elementi sono funzioni, e non terne!!
Per provare che è $W$ è un sottospazio si può usare il criterio.. Ricordandoti che con le due operazioni tu devi lavorare su funzioni.
Quindi, se prendi $f,g$ in $W$, e $u in U$, hai che $f(u)$ e $g(u)$ appartengono a $V$.
Allora, poiché $V$ è sottospazio, $f(u)+g(u) in V$.
Allora, poiché si tratta di endomorfismi, $(f+g)(u) in V$, da cui hai $f+g in W$.
E analogamente fai gli altri.
Il secondo punto dopo pranzo, scusa (:
Anch'io sono spesso impreciso e ho dei lapsus quando scrivo al pc, ma mi permetto di dirti che ti conviene provare a scrivere meglio, perché eviteresti certi errori!
Ad esempio, se avessi scritto $W={ f : RR^3 \rightarrow RR^3 | f^i(U) ⊆ V, f^i(V) ⊆ U}$, forse non avresti detto che $W$ è l'intersezione dei due sottospazi, rendendoti conto che i suoi elementi sono funzioni, e non terne!!
Per provare che è $W$ è un sottospazio si può usare il criterio.. Ricordandoti che con le due operazioni tu devi lavorare su funzioni.
Quindi, se prendi $f,g$ in $W$, e $u in U$, hai che $f(u)$ e $g(u)$ appartengono a $V$.
Allora, poiché $V$ è sottospazio, $f(u)+g(u) in V$.
Allora, poiché si tratta di endomorfismi, $(f+g)(u) in V$, da cui hai $f+g in W$.
E analogamente fai gli altri.
Il secondo punto dopo pranzo, scusa (:
Dunque, se nel testo "base standard" significa "base canonica", denotiamola $E$ e denotiamo i suoi vettori $e_1,e_2,e_3$.
Osserviamo che $e_1 in V$ e $e_1 notin U$, quindi $f(e_1) in U$ e perciò $f(e_1)$ sarà della forma $(alpha,beta,alpha)$, con $alpha,beta in RR$.
Poi, $e_2 in UnnV$, quindi $f(e_2) in VnnU$, e perciò $f(e_2)$ sarà della forma $(0,gamma,0)$, con $gamma in RR$.
Infine, $e_3 notin U$ e $e_3 notin V$, quindi su $f(e_3)$ non ci sono condizioni.
E perciò
$M_E(f)=( ( alpha , 0 , delta ),( beta , gamma , epsilon ),( alpha , 0 , zeta ) ) $ con $alpha, beta, gamma, delta, epsilon, zeta in RR$.
Osserviamo che $e_1 in V$ e $e_1 notin U$, quindi $f(e_1) in U$ e perciò $f(e_1)$ sarà della forma $(alpha,beta,alpha)$, con $alpha,beta in RR$.
Poi, $e_2 in UnnV$, quindi $f(e_2) in VnnU$, e perciò $f(e_2)$ sarà della forma $(0,gamma,0)$, con $gamma in RR$.
Infine, $e_3 notin U$ e $e_3 notin V$, quindi su $f(e_3)$ non ci sono condizioni.
E perciò
$M_E(f)=( ( alpha , 0 , delta ),( beta , gamma , epsilon ),( alpha , 0 , zeta ) ) $ con $alpha, beta, gamma, delta, epsilon, zeta in RR$.
ooooooooooooh wow ... mi ci vorrà tutto il pomeriggio per capire questo esercizio ... eheheheh ...GRAZIE MILLE
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