Sottospazio vettoriale
Ho un dubbio con il seguente esercizio:
si stabilisca se l'insieme \( S=\{(s_1, s_2, s_3) | s_1 - s_3 = 1\}\) è un sottospazio vettoriale.
Non so se ho sbagliato, ma ho interpretato un generico vettore definito come \( x =(x_1,x_2,x_1 -1) \)
Ora se un sottospazio vettoriale è definito come un sottoinsieme di \( \mathbb{R}^n \) tale che, \( \forall x,y \in S \), ogni combinazione lineare \( \alpha x + \beta y \in S \), mi sembra che la definizione di \( S \) sia uno spazio vettoriale. Il punto è che se faccio alcuni esempi non mi trovo; ad esempio se ho i vettori:
\(x=(2,3,1) \) e \( y=(4,4,3) \), che appartengono sicuramente ad \( S \) dato che "rispondono" alla definizione data, una loro combinazione lineare \( \alpha (2,3,1) + \beta (4,4,3) \in S \), infatti \( 2(2,3,1) + (-1)(4,4,3) = (4,6,2) + (-4,-4,-3) = (0,2,-1) \in S \), però i vettori \( (4,6,2) \notin S \) e \( (-4,-4,-3) \notin S \), secondo la mia interpretazione di vettore.
Dove sbaglio?
si stabilisca se l'insieme \( S=\{(s_1, s_2, s_3) | s_1 - s_3 = 1\}\) è un sottospazio vettoriale.
Non so se ho sbagliato, ma ho interpretato un generico vettore definito come \( x =(x_1,x_2,x_1 -1) \)
Ora se un sottospazio vettoriale è definito come un sottoinsieme di \( \mathbb{R}^n \) tale che, \( \forall x,y \in S \), ogni combinazione lineare \( \alpha x + \beta y \in S \), mi sembra che la definizione di \( S \) sia uno spazio vettoriale. Il punto è che se faccio alcuni esempi non mi trovo; ad esempio se ho i vettori:
\(x=(2,3,1) \) e \( y=(4,4,3) \), che appartengono sicuramente ad \( S \) dato che "rispondono" alla definizione data, una loro combinazione lineare \( \alpha (2,3,1) + \beta (4,4,3) \in S \), infatti \( 2(2,3,1) + (-1)(4,4,3) = (4,6,2) + (-4,-4,-3) = (0,2,-1) \in S \), però i vettori \( (4,6,2) \notin S \) e \( (-4,-4,-3) \notin S \), secondo la mia interpretazione di vettore.
Dove sbaglio?
Risposte
"GundamRX91":
Ora se un sottospazio vettoriale è definito come un sottoinsieme di \( \mathbb{R}^n \) tale che, \( \forall x,y \in S \), ogni combinazione lineare \( \alpha x + \beta y \in S \)
Non basta. Devi richiedere che $S$ sia non vuoto o, equivalentemente, che il vettore nullo stia in $S$ (cosa che non si verifica).
$S$ è un sottospazio affine (non vettoriale) di dimensione $2$ (un piano in $RR^3$).
Vero, \( S \ne 0 \); l'avevo dato per scontato.
Quindi i miei dubbi erano reali, \(S\) non può essere un sottospazio vettoriale in quanto il prodotto per uno scalare \( \lambda v \in S \Leftrightarrow \lambda=1\), e la condizione direi che è troppo restrittiva
E poi mi dimentico sempre del vettore nullo.... \(0=(0,0,0) \notin S\) in quanto \(0_1 - 0_2=0 \ne 1\)
Spero di aver capito, grazie Seneca
Quindi i miei dubbi erano reali, \(S\) non può essere un sottospazio vettoriale in quanto il prodotto per uno scalare \( \lambda v \in S \Leftrightarrow \lambda=1\), e la condizione direi che è troppo restrittiva
E poi mi dimentico sempre del vettore nullo.... \(0=(0,0,0) \notin S\) in quanto \(0_1 - 0_2=0 \ne 1\)
Spero di aver capito, grazie Seneca
"GundamRX91":
Quindi i miei dubbi erano reali, \(S\) non può essere un sottospazio vettoriale in quanto il prodotto per uno scalare \( \lambda v \in S \Leftrightarrow \lambda=1\), e la condizione direi che è troppo restrittiva
Non capisco cosa vuoi osservare con queste due righe.
Se il prodotto di un vettore per uno scalare deve sempre appartenere ad \(S\), noto che questo è verificato solo quando lo scalare è il numero \(1\), o sbaglio?
Ah, d'accordo. Non sbagli, mi sembra.
"GundamRX91":
Ho un dubbio con il seguente esercizio:
si stabilisca se l'insieme \( S=\{(s_1, s_2, s_3) | s_1 - s_3 = 1\}\) è un sottospazio vettoriale.
Ciao Gun, la questione è più semplice di quello che sembra.
Se $S$ è un sottospazio vettoriale allora $(0,0,0) \in S$ cioè $EE v \in S t.c v=(0,0,0)$.
$v=(s_1,s_2,s_1-1)=(0,0,0) <=> $
\begin{cases}
s_1=0 \\
s_2=0 \\
s_1 =1 \\
\end{cases}
Da cui avrei $s_1=0=1 => 0=1$
Assurdo !
Quindi $S$ non può essere un sottospazio vettoriale.
"Kashaman":
[quote="GundamRX91"]Ho un dubbio con il seguente esercizio:
si stabilisca se l'insieme \( S=\{(s_1, s_2, s_3) | s_1 - s_3 = 1\}\) è un sottospazio vettoriale.
Ciao Gun, la questione è più semplice di quello che sembra.
Se $S$ è un sottospazio vettoriale allora $(0,0,0) \in S$ cioè $EE v \in S t.c v=(0,0,0)$.
$v=(s_1,s_2,s_1-1)=(0,0,0) <=> $
\begin{cases}
s_1=0 \\
s_2=0 \\
s_1 =1 \\
\end{cases}
Da cui avrei $s_1=0=1 => 0=1$
Assurdo !
Quindi $S$ non può essere un sottospazio vettoriale.[/quote]
Vero!!
Grazie anche a te
Riprendo questo thread per un altro esercizio di cui vorrei sapere se l'ho svolto in modo corretto.
Determinare se l'insieme \( S=\{ (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 | 3x_1 + x_2 + 2x_3 = 0\} \) è un sottospazio vettoriale di \( \mathbb{R}^3\).
Per essere un sottospazio \(S \ne \emptyset \), infatti \(0=(0,0,0) \in S \Leftrightarrow 3\cdot 0+0+2 \cdot 0=0+0+0=0\), e in generale \( \forall x,y \in S, \forall \alpha,\beta \in \mathbb{R}, \alpha x + \beta y \in S \), che possiamo scrivere come:
\( \alpha(x_1,x_2,x_3) + \beta(y_1,y_2,y_3) = (\alpha x_1, \alpha x_2, \alpha x_3) + (\beta y_1,\beta y_2, \beta y_3)=(\alpha x_1 + \beta y_1, \alpha x_2 + \beta y_2, \alpha x_3 + \beta y_3)\)
Ora il vettore \((\alpha x_1 + \beta y_1, \alpha x_2 + \beta y_2, \alpha x_3 + \beta y_3) \in S \Leftrightarrow 3 (\alpha x_1 + \beta y_1) + ( \alpha x_2 + \beta y_2) + 2( \alpha x_3 + \beta y_3) = 0\)
da cui possiamo scrivere:
\( 3 (\alpha x_1 + \beta y_1) + ( \alpha x_2 + \beta y_2) + 2( \alpha x_3 + \beta y_3) = 3\alpha x_1 + 3\beta y_1 + \alpha x_2 + \beta y_2 + 2\alpha x_3 + 2\beta y_3 =\)
\(= 3\alpha x_1 + \alpha x_2 + 2\alpha x_3 + 3\beta y_1 + \beta y_2 + 2\beta y_3 = 0\)
\( \alpha (3x_1 + x_2 + 2x_3) + \beta(3y_1 + y_2 + 2y_3)=0 \)
Ma dato che \( x=(x_1,x_2,x_3) \in S \Leftrightarrow 3x_1 + x_2 + 2x_3=0 \) e \( y=(y_1,y_2,y_3) \in S \Leftrightarrow 3y_1 + y_2 + 2y_3=0 \), allora il tutto diventa:
\( \alpha \cdot 0 + \beta \cdot 0 = 0+0=0 \) e quindi \(S\) è un sottospazio vettoriale di \(\mathbb{R}^3\).
E' corretto?
Determinare se l'insieme \( S=\{ (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 | 3x_1 + x_2 + 2x_3 = 0\} \) è un sottospazio vettoriale di \( \mathbb{R}^3\).
Per essere un sottospazio \(S \ne \emptyset \), infatti \(0=(0,0,0) \in S \Leftrightarrow 3\cdot 0+0+2 \cdot 0=0+0+0=0\), e in generale \( \forall x,y \in S, \forall \alpha,\beta \in \mathbb{R}, \alpha x + \beta y \in S \), che possiamo scrivere come:
\( \alpha(x_1,x_2,x_3) + \beta(y_1,y_2,y_3) = (\alpha x_1, \alpha x_2, \alpha x_3) + (\beta y_1,\beta y_2, \beta y_3)=(\alpha x_1 + \beta y_1, \alpha x_2 + \beta y_2, \alpha x_3 + \beta y_3)\)
Ora il vettore \((\alpha x_1 + \beta y_1, \alpha x_2 + \beta y_2, \alpha x_3 + \beta y_3) \in S \Leftrightarrow 3 (\alpha x_1 + \beta y_1) + ( \alpha x_2 + \beta y_2) + 2( \alpha x_3 + \beta y_3) = 0\)
da cui possiamo scrivere:
\( 3 (\alpha x_1 + \beta y_1) + ( \alpha x_2 + \beta y_2) + 2( \alpha x_3 + \beta y_3) = 3\alpha x_1 + 3\beta y_1 + \alpha x_2 + \beta y_2 + 2\alpha x_3 + 2\beta y_3 =\)
\(= 3\alpha x_1 + \alpha x_2 + 2\alpha x_3 + 3\beta y_1 + \beta y_2 + 2\beta y_3 = 0\)
\( \alpha (3x_1 + x_2 + 2x_3) + \beta(3y_1 + y_2 + 2y_3)=0 \)
Ma dato che \( x=(x_1,x_2,x_3) \in S \Leftrightarrow 3x_1 + x_2 + 2x_3=0 \) e \( y=(y_1,y_2,y_3) \in S \Leftrightarrow 3y_1 + y_2 + 2y_3=0 \), allora il tutto diventa:
\( \alpha \cdot 0 + \beta \cdot 0 = 0+0=0 \) e quindi \(S\) è un sottospazio vettoriale di \(\mathbb{R}^3\).
E' corretto?
Up, please
Sì, mi sembra tutto corretto.
Bene!! Grazie per la verifica
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