Sottospazio unione e sottospazio somma

[pitrineddu90]

Salve. Sto studiando i sottospazi di geometria e sono incappato in un dubbio da cui non riesco ad uscire. Un sottospazio somma è diverso da un sottospazio somma e vorrei capire perchè. Su Wikipedia ho cercato ma non l'ho capito bene. Vorrei, se possibile, fatto un esempio in geometria tridimensionale un pò meglio di quello di Wikipedia perchè appunto non lo capisco. Grazie

[Seneca1]

Scusami, eh... L'unione di due sottospazi non è in generale un sottospazio.

[Seneca1]

Per vederlo basta prendere in $RR^2$ due sottospazi vettoriali di dimensione $1$ non coincidenti. Per esempio $W_1 = <(1,0)>$ e $W_2 = <(0,1)>$. Hai che $(0,1) in W_1 uu W_2$ e che $(1,0) in W_1 uu W_2$. Allora, se l'unione fosse un sottospazio, dovrebbe aversi che $(0,1) + (1,0) = (1,1)$ appartiene a $W_1 uu W_2$, cosa che non si verifica.

Vale anche un risultato per caratterizzare questa situazione: l'unione di due sottospazi è un sottospazio se e solo se uno dei due sottospazi contiene l'altro.

[pitrineddu90]

Ok chiarissimo. Grazie.

[Seneca1]

Se vuoi avere un'idea di com'è fatto lo spazio somma, prova a vedere com'è fatto nel caso che ti ho descritto. In particolare $W_1 + W_2$ è una somma diretta...