Sottospazio somma

[ladepie]

Devo dimostrare che:
Dato uno spazio vettoriale $(V,+,*)$ e due sottospazi di V, $W_1$, $W_2$, $L(W_1 \cup W_2 ) = W_1 + W_2$.

Io ho comiciato a dimostrare la doppia inclusione... ovvero che $W_1$, $W_2$, $L(W_1 \cup W_2 ) \subset W_1 + W_2$ e che $L(W_1 \cup W_2 ) \supset W_1 + W_2$.

La prima inclusione mi pare di averla dimostrata...bisogna dimostrare che prendendo un elemento che si scrive come combinazione lineare degli elementi dell'unione dei due sottospazi devo vedere se questa è anche somma di un vettore di W1 e uno di W2:

$x \in L(W_1 \cup W_2)$ se $x= \sum_i \lambda _i x_i + \sum_i \alpha _j y_j$ dove $x_i \in W_1$ e $y_j \in W_2$ e $\lambda _i$, $\alpha _j$ $\in R$. Essendo $W_1$ e $W_2$ sottospazi vettoriali anche le sommatorie saranno appartenenti rispettivamente a $W_1$ e $W_2$. Quindi x è scritto come somma di un vettore di $W_1$ e uno di $W_2$.

Per la seconda inclusione bisogna dimostrare che prendendo un vettore che scrive come somma di un vettore di $W_1$ e uno di $W_2$, esso appartiene alla combinazione lineare dell'unione dei due sottospazi. Ma non ho idea su come farlo.

[dissonance]

Non hai idea di come farlo forse perché è proprio ovvio... Se $w_1 \in W_1$, $w_2 \in W_2$ allora $w_1+w_2=1*w_1+1*w_2 \in L(W_1 uu W_2)$. Ecco mostrato che $W_1+W_2 \subset L(W_1 uu W_2)$. Ti convince?