Sottospazio somma.
La somma di infiniti addendi ha raramente senso. Prendi lo spazio vettoriale dei polinomi in una indeterminata, a coefficienti reali. Prendi \((H_i=\langle X^i\rangle\) (e \(I=\mathbb N\), quindi \(H_1\) è il sottospazio generato da $X$, $H_2$ quello generato da \(X^2\) e così via).
Se ammetti somme infinite nella tua "definizione" di sottospazio generato dagli \(H_i\), l'elemento \(1+X+X^2+X^3+\dots\) dovrebbe appartenere al sottospazio \(\langle \bigcup H_i\rangle\); però non solo non ci sta, ma non è nemmeno un vettore dello spazio dove ciascun \(H_i\) vive.
Se ammetti somme infinite nella tua "definizione" di sottospazio generato dagli \(H_i\), l'elemento \(1+X+X^2+X^3+\dots\) dovrebbe appartenere al sottospazio \(\langle \bigcup H_i\rangle\); però non solo non ci sta, ma non è nemmeno un vettore dello spazio dove ciascun \(H_i\) vive.
Risposte
Buongiorno, ho qualche difficolta a capire la definizione di sottospazio somma quando si considera una famiglia di sottospazi di uno spazio vettoriale $V$, in particolare, $V$ può avere qualsiasi dimensione, cioè finita o infinita.
Nello specifico viene fatto cosi; Sia $(H_i)_(i in I) $ famiglia non vuota di sottospazi di $V$.
Risulta
A questo punto, parte che non mi è molto chiara, viene specificato il senso della scrittura $sum_(i in I) h_i.$
In tal caso, siano $V$ s.v. sinistro su $Lambda$, $(alpha_i)_(i in I)$ fam. di elementi di $Lambda$, e $(x_i)_(i in I)$ fam. di elementi di $V$.
Sia $J={i in I: a_ix_i ne 0}$, si definisce
Gli addendi sono quasi tutti nulli; gli addendi non nulli sono in numero finito.
In particolare, se si scrive $sum_(i in I) x_i$ si intende che l'insieme ${i in I: x_i ne 0}$ è finito.
Dopo questa osservazione, viene parlato di combinazioni lineari ecc ecc...
Mi sto chiedendo perché viene fatta questa precisazione ?
Forse perché siamo in uno spazio vettoriale qualunque, dunque, può essere anche di dimensione infinita, quindi non avrebbe senso definire la somma di infiniti addendi?
Nello specifico viene fatto cosi; Sia $(H_i)_(i in I) $ famiglia non vuota di sottospazi di $V$.
Risulta
$\={sum_(i in I) h_i: h_i in H_i, forall i in I}.$
A questo punto, parte che non mi è molto chiara, viene specificato il senso della scrittura $sum_(i in I) h_i.$
In tal caso, siano $V$ s.v. sinistro su $Lambda$, $(alpha_i)_(i in I)$ fam. di elementi di $Lambda$, e $(x_i)_(i in I)$ fam. di elementi di $V$.
Sia $J={i in I: a_ix_i ne 0}$, si definisce
$sum_(i in I) a_ix_i= $ ${ (0 qquad \qquad \ qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad se\ J=emptyset) ,( a_(i_i)x_(i_1)+...+a_(i_m)x_(i_m)\ qquad se\ J={i_1,...,i_m}) :} $
Gli addendi sono quasi tutti nulli; gli addendi non nulli sono in numero finito.
In particolare, se si scrive $sum_(i in I) x_i$ si intende che l'insieme ${i in I: x_i ne 0}$ è finito.
Dopo questa osservazione, viene parlato di combinazioni lineari ecc ecc...
Mi sto chiedendo perché viene fatta questa precisazione ?
Forse perché siamo in uno spazio vettoriale qualunque, dunque, può essere anche di dimensione infinita, quindi non avrebbe senso definire la somma di infiniti addendi?
Come ha accennato @megas_archon: c'è un errore nel testo; puoi sempre sommare finiti vettori, e non sempre ha senso parlare di somme di infiniti vettori! E.g.: come definiresti la convergenza di una siffatta sommatoria infinita?
P.S.: ma solo io vedo domanda e prima risposta in ordine inverso?
P.S.: ma solo io vedo domanda e prima risposta in ordine inverso?
State facendo confusione. Non è nulla di trascendentale, si può benissimo definire la somma di infiniti spazi vettoriali; i suoi elementi sono per definizione le somme finite di vettori. Esattamente come ha riportato OP nella sua scrittura, eccetto che ha scritto $J$ invece di $I$ due volte. Non c'è nessuna somma di infiniti vettori.
"hydro":...e chi ha scritto il contrario?
[...]si può benissimo definire la somma di infiniti spazi vettoriali; i suoi elementi sono per definizione le somme finite di vettori.[...]
Io definisco:
\[
\left\langle\bigcup_{i\in I}H_i\right\rangle=\left\{\sum_{j\in J}h_j\mid J\subseteq I\,\text{finito,}\,j\in J,h_j\in H_j\right\}.
\]
Anche io vedo i post permutati, non si capisce qual è la domanda e quale la risposta, anche se per qualche motivo penso che si sia capito.
Buonasera,
ho corretto il post-originale, ci stava un errore, ma non questo
Ora è esattamente uguale a quello che è scritto sulle slide. Inoltre, voglio precisare, che la seguente osservazione:
l'ho aggiunta io, essendo che non è specificato sulle slide.
Mi è sembrato giusto riportarlo.
Comunque, anch'io vedo i post permutati, non siete solo voi.
ho corretto il post-originale, ci stava un errore, ma non questo
"hydro":
eccetto che ha scritto $ J $ invece di $ I $ due volte. Non c'è nessuna somma di infiniti vettori.
Ora è esattamente uguale a quello che è scritto sulle slide. Inoltre, voglio precisare, che la seguente osservazione:
"Yuyu_13":
V $ può avere qualsiasi dimensione, cioè finita o infinita.
l'ho aggiunta io, essendo che non è specificato sulle slide.
Mi è sembrato giusto riportarlo.
Comunque, anch'io vedo i post permutati, non siete solo voi.
Buongiorno.
Comunque, alla fine, forse non c'è niente di cosi curioso.
In effetti, leggendo dal libro consigliato dalla prof., ho notato che viene fatta questa stessa osservazione per dare un significato alla scrittura $sum_(i in I)a_ix_i$ precisamente viene detto:
1) $S$ s.v. sx su $Lambda$,
2) $(a_i)_(i in I)$ fam. di elementi di $Lambda$,
3) $(x_i)_(i in I)$ fam. di elementi di $S$,
4) $J={i in I | a_ix_i ne 0}.$
$J$ cosi definito può risultare finito o infinito.
Nel primo caso, si da significato al simbolo $sum_(i in I)a_ix_i$, in particolare, indicando con $0$ se $J$ è vuoto,
invece, $sum_(i in I)a_ix_i=a_(i_1)x_(i_1)+...+a_(i_m)x_(i_m)$ se $J={i_1,...,i_m}.$
Nel secondo caso, al simbolo $sum_(i in I)a_ix_i$ non si attribuisce alcun significato.
Ora, una domanda, al simbolo $sum_(i in I)a_ix_i$ non si attribuisce alcun significato, perché, se considero un generico vettore $v_i$ di $H_i$ non sappiamo a priori se la serie $sum_(i in I)h_i$ converge oppure no.
Questo è il motivo perché non è possibile dare un significato alla scrittura $sum_(i in I)h_i$ ?
Comunque, alla fine, forse non c'è niente di cosi curioso.
In effetti, leggendo dal libro consigliato dalla prof., ho notato che viene fatta questa stessa osservazione per dare un significato alla scrittura $sum_(i in I)a_ix_i$ precisamente viene detto:
1) $S$ s.v. sx su $Lambda$,
2) $(a_i)_(i in I)$ fam. di elementi di $Lambda$,
3) $(x_i)_(i in I)$ fam. di elementi di $S$,
4) $J={i in I | a_ix_i ne 0}.$
$J$ cosi definito può risultare finito o infinito.
Nel primo caso, si da significato al simbolo $sum_(i in I)a_ix_i$, in particolare, indicando con $0$ se $J$ è vuoto,
invece, $sum_(i in I)a_ix_i=a_(i_1)x_(i_1)+...+a_(i_m)x_(i_m)$ se $J={i_1,...,i_m}.$
Nel secondo caso, al simbolo $sum_(i in I)a_ix_i$ non si attribuisce alcun significato.
Ora, una domanda, al simbolo $sum_(i in I)a_ix_i$ non si attribuisce alcun significato, perché, se considero un generico vettore $v_i$ di $H_i$ non sappiamo a priori se la serie $sum_(i in I)h_i$ converge oppure no.
Questo è il motivo perché non è possibile dare un significato alla scrittura $sum_(i in I)h_i$ ?
"Yuyu_13":Sì, esatto; ed aggiungo: hai definito il concetto di convergenza a priori?
[...]Ora, una domanda, al simbolo $ sum_(i in I)a_ix_i $ non si attribuisce alcun significato, perché, se considero un generico vettore $ v_i $ di $ H_i $ non sappiamo a priori se la serie $ sum_(i in I)h_i $ converge oppure no.
Questo è il motivo perché non è possibile dare un significato alla scrittura $ sum_(i in I)h_i $ ?
Un bel problema, non credi? 0:)
@j18eos, 
perché non ho proprio idea da dove iniziare.
Io conosco il concetto di convergenza visto ad analisi, ma prima di adattarlo al caso nostro, penso che ci siano diverse cose da sistemare.
Problema
Se volessi adattare la teoria di analisi 1 che riguarda le funzioni a valori nel campo $RR$ in un altro campo, ad esempio $QQ$.
Questo, forse, è un problema che si può presentare.
perché non ho proprio idea da dove iniziare.Io conosco il concetto di convergenza visto ad analisi, ma prima di adattarlo al caso nostro, penso che ci siano diverse cose da sistemare.
Problema
Se volessi adattare la teoria di analisi 1 che riguarda le funzioni a valori nel campo $RR$ in un altro campo, ad esempio $QQ$.
Questo, forse, è un problema che si può presentare.
Ecco, come vedi si presentano diversi problemi quando vuoi definire il concetto di convergenza;
prendi ad esempio giustamente \(\displaystyle\mathbb{Q}\): esistono successioni di numeri razionali che convergono a numeri irrazionali, quindi come fare?
Sono domande che ti pongo solo per farti riflettere, e non per altro.
prendi ad esempio giustamente \(\displaystyle\mathbb{Q}\): esistono successioni di numeri razionali che convergono a numeri irrazionali, quindi come fare?
Sono domande che ti pongo solo per farti riflettere, e non per altro.
No, anzi, mi fa piacere, mi fai crescere 
.
Comunque, prendo la successione famosa $a_n=(1+1/n)^n $ questa converge ad $e$ in $RR$ per $n to + infty$ ma non in $QQ$ poiché $e notin QQ.$
Adesso, $e$ lo posso sviluppare in una frazione continua illimitata?
Se si, pero introduco un errore, (forse, ripeto forse), il quale lo posso rendere piccolo a piacere ?
.Comunque, prendo la successione famosa $a_n=(1+1/n)^n $ questa converge ad $e$ in $RR$ per $n to + infty$ ma non in $QQ$ poiché $e notin QQ.$
Adesso, $e$ lo posso sviluppare in una frazione continua illimitata?
Se si, pero introduco un errore, (forse, ripeto forse), il quale lo posso rendere piccolo a piacere ?
Voglio sottolineare il fatto che riesci a sommare infiniti vettori, ovvero infiniti numeri razionali, i quali convergono (secondo le usuali nozioni apprese in Analisi 1) a un numero irrazionale;
in sintesi: hai una somma di infiniti vettori, hai una definizione di convergenza, ma il risultato può non appartenere allo spazio vettoriale di partenza.
Quindi i problemi da uno passano a due: definire "la convergenza", rendersi conto che rispetto a tale convergenza lo spazio vettoriale ambiente è "incompleto" e quindi lo si deve "completare".
Ammesso che siamo così bravi a risolvere tutti questi problemi, alla fine ti trovi uno spazio vettoriale in cui hai un concetto di convergenza per le serie dei tuoi vettori, ma in genere tale spazio vettoriale è più grande di quello di partenza.
Esempio: \(\displaystyle\mathbb{Q}\) non è "completo" come \(\displaystyle\mathbb{Q}\)-spazio vettoriale (di dimensione \(1\)), rispetto alla condizione di convergenza di Cauchy. E il suo completamento è \(\displaystyle\mathbb{R}\), il quale come spazio vettoriale razionale ha dimensione infinita.
Ora ti pongo io una domanda: ma queste sono mere curiosità oppure hai l'esigenza di studiarle?
in sintesi: hai una somma di infiniti vettori, hai una definizione di convergenza, ma il risultato può non appartenere allo spazio vettoriale di partenza.
Quindi i problemi da uno passano a due: definire "la convergenza", rendersi conto che rispetto a tale convergenza lo spazio vettoriale ambiente è "incompleto" e quindi lo si deve "completare".
Ammesso che siamo così bravi a risolvere tutti questi problemi, alla fine ti trovi uno spazio vettoriale in cui hai un concetto di convergenza per le serie dei tuoi vettori, ma in genere tale spazio vettoriale è più grande di quello di partenza.
Esempio: \(\displaystyle\mathbb{Q}\) non è "completo" come \(\displaystyle\mathbb{Q}\)-spazio vettoriale (di dimensione \(1\)), rispetto alla condizione di convergenza di Cauchy. E il suo completamento è \(\displaystyle\mathbb{R}\), il quale come spazio vettoriale razionale ha dimensione infinita.
Ora ti pongo io una domanda: ma queste sono mere curiosità oppure hai l'esigenza di studiarle?
La domanda che mi ero posto all'inizio, era il senso della scrittura famosa $sum_(i in I)x_i$.
Dove ho capito cosa volesse dire la prof..., dunque, è solo curiosità.
Comunque grazie che me l'hai fatte notare
Dove ho capito cosa volesse dire la prof..., dunque, è solo curiosità.
Comunque grazie che me l'hai fatte notare
"Yuyu_13":Prima di annichilirmi voglio far notare che di solito non si chiama "serie" una somma a caso.
serie
In uno spazio di Banach (=spazio vettoriale normato e completo), la convergenza assoluta di una serie ne implica la convergenza (nota che se \( (x_n)_n \) è la serie e \( \sum_{n = 0}^\infty \lVert{x_n}\rVert<\infty \), la successione \( s_n = x_0 + \cdots + x_n \) delle somme parziali è di Cauchy); inoltre, se la serie \( (x_n)_n \) converge assolutamente, anche \( (x_{\sigma(n)})_n \) converge (a quello che ti aspetti), per ogni permutazione \( \sigma\colon \mathbb N\to\mathbb N \). Questo ti permette di definire in modo ovvio la somma di una famiglia numerabile di vettori dello spazio (a patto che tale famiglia sia assolutamente sommabile), e dare senso alla scrittura \( \sum_{\lambda\in\Lambda}x_\lambda \) (se \( (x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda} \) è la famiglia numerabile di vettori dello spazio).
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