Sottospazio proprio e calcolo del supplementare con polinomi
Non so risolvere il seguente problema:
"Sia $T$ un'indeterminata su R. Si dimostri che esiste un unico sottospazio proprio $X$ di R[T]<=3 contenente i polinomi:
$f(T):=1+T$
$g(T):=3 -2T+T^2$
$h(T):=T^2$
e si determino almeno due supplementari distinti di $X$ in R[T]<=3
HELP!!! Domani ho l'esame.
"Sia $T$ un'indeterminata su R. Si dimostri che esiste un unico sottospazio proprio $X$ di R[T]<=3 contenente i polinomi:
$f(T):=1+T$
$g(T):=3 -2T+T^2$
$h(T):=T^2$
e si determino almeno due supplementari distinti di $X$ in R[T]<=3
HELP!!! Domani ho l'esame.
Risposte
[mod="cirasa"]Ho corretto parte delle formule. Per cortesia, le prossime volte usale, vedrai che il tuo post apparirà molto più chiaro.
Ti ricordo, inoltre, che il forum non è un risolutore automatico di esercizi. Sei pregato di postare il tuo tentativo di soluzione.[/mod]
Innanzitutto, immagino che con "R[T]<=3" tu abbia indicato lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti in $RR$ di grado al più $3$.
Puoi indicarlo con $RR_3[T]$ scritto digitando \$RR_3[T]\$.
Tu che idee hai in proposito?
Suggerimento:
Qual è la dimensione di $RR_3[T]$? E quale può essere la dimensione di questo sottospazio $X$ che contiene quei tre polinomi?
Inizia a rispondere a queste domande...
Poi, se ancora non ti viene nessuna idea, proverò a darti qualche altro suggerimento.
Ti ricordo, inoltre, che il forum non è un risolutore automatico di esercizi. Sei pregato di postare il tuo tentativo di soluzione.[/mod]
Innanzitutto, immagino che con "R[T]<=3" tu abbia indicato lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti in $RR$ di grado al più $3$.
Puoi indicarlo con $RR_3[T]$ scritto digitando \$RR_3[T]\$.
Tu che idee hai in proposito?
Suggerimento:
Qual è la dimensione di $RR_3[T]$? E quale può essere la dimensione di questo sottospazio $X$ che contiene quei tre polinomi?
Inizia a rispondere a queste domande...
Poi, se ancora non ti viene nessuna idea, proverò a darti qualche altro suggerimento.
Esatto! Credo che la dimensione di questo spazio vettoriale sia al più 3, ma sinceramente non so come risolvere l'esercizio.
E' difficile?
L'unica cosa che ho provato a fare è stata di scrivere con questi tre vettori una combinazione lineare non banale e risolvendolo mi viene che sono indipendenti. Potrebbe essere giusto per risolvere la prima parte dell'esercizio?
E' difficile?
L'unica cosa che ho provato a fare è stata di scrivere con questi tre vettori una combinazione lineare non banale e risolvendolo mi viene che sono indipendenti. Potrebbe essere giusto per risolvere la prima parte dell'esercizio?
No, non è difficile 
Non hai risposto all'altra domanda: che dimensione ha $RR_3[T]$?
Inoltre, hai scritto bene, quei vettori sono indipendenti.
Perchè scrivi che $X$ ha al più dimensione $3$? Nel senso che può avere dimensione 0,1,2 o 3?
Ti ricordo che $X$ contiene quei tre vettori indipendenti...
Non hai risposto all'altra domanda: che dimensione ha $RR_3[T]$?
Inoltre, hai scritto bene, quei vettori sono indipendenti.
Perchè scrivi che $X$ ha al più dimensione $3$? Nel senso che può avere dimensione 0,1,2 o 3?
Ti ricordo che $X$ contiene quei tre vettori indipendenti...
E' proprio questo che non capisco nel risolvere questo problema.
Ma, scusa, può uno spazio di dimensione $2$ contenere $3$ vettori linearmente indipendenti?
Ovviamente no! Possibile che questo concetto tu non lo abbia studiato?
Detto questo, se $X$ contiene $3$ vettori linearmente indipendenti, allora $X$ ha almeno (e non "al più") dimensione $3$.
Quindi $X$ ha dimensione $3$ o $4$.
Se $X$ avesse dimensione $4$, visto che $RR_3[T]$ ha dimensione $4$ (alla fine l'ho detto io, nonostante te lo avessi chiesto due volte), allora $X$ dovrebbe coincidere con tutto $RR_3[T]$.
Ma questa ipotesi è esclusa, perchè $X$ deve essere un sottospazio proprio di $RR_3[T]$.
Quindi $X$ ha dimensione $3$ e contiene i tre vettori $f(T),g(T),h(T)$ che sono indipendenti. Pertanto $X=$.
Ora restano da determinare due supplementari...
Ovviamente no! Possibile che questo concetto tu non lo abbia studiato?
Detto questo, se $X$ contiene $3$ vettori linearmente indipendenti, allora $X$ ha almeno (e non "al più") dimensione $3$.
Quindi $X$ ha dimensione $3$ o $4$.
Se $X$ avesse dimensione $4$, visto che $RR_3[T]$ ha dimensione $4$ (alla fine l'ho detto io, nonostante te lo avessi chiesto due volte), allora $X$ dovrebbe coincidere con tutto $RR_3[T]$.
Ma questa ipotesi è esclusa, perchè $X$ deve essere un sottospazio proprio di $RR_3[T]$.
Quindi $X$ ha dimensione $3$ e contiene i tre vettori $f(T),g(T),h(T)$ che sono indipendenti. Pertanto $X=
Ora restano da determinare due supplementari...
mi sono espresso male effettivamente la dimensione è 3 perchè il rango della matrice generata dai tre vettori è 3.
Ora come devo fare per calcolare i due supplementari?
Ora come devo fare per calcolare i due supplementari?
Non vorrei apparire troppo polemico...
Ma ti faccio notare che trovare un supplementare di un sottospazio vettoriale è un esercizio abbastanza standard.
Possibile che tu non l'abbia mai fatto a lezione?
Inizia con il trovarne uno con il metodo con un metodo che trovi sui tuoi appunti o sul tuo libro.
Poi vediamo di trovarne un altro.
Insomma, non aspettare che qualcuno lo risolva per te. Non imparerai mai niente!
Ma ti faccio notare che trovare un supplementare di un sottospazio vettoriale è un esercizio abbastanza standard.
Possibile che tu non l'abbia mai fatto a lezione?
Inizia con il trovarne uno con il metodo con un metodo che trovi sui tuoi appunti o sul tuo libro.
Poi vediamo di trovarne un altro.
Insomma, non aspettare che qualcuno lo risolva per te. Non imparerai mai niente!
"cirasa":
Non vorrei apparire troppo polemico...
Ma ti faccio notare che trovare un supplementare di un sottospazio vettoriale è un esercizio abbastanza standard.
Possibile che tu non l'abbia mai fatto a lezione?
Inizia con il trovarne uno con il metodo con un metodo che trovi sui tuoi appunti o sul tuo libro.
Poi vediamo di trovarne un altro.
Insomma, non aspettare che qualcuno lo risolva per te. Non imparerai mai niente!
ok grazie comunque per l'aiuto.
Mi spiace che te la sia presa.
Vorrei solo chiarire una cosa. Il mio non era affatto un rimprovero (anche perchè non ne ho diritto), ma solo un incoraggiamento.
Puoi farcela da solo con un po' di studio.
Resta il fatto che, se ci sono dubbi precisi, sarò lieto di aiutarti.
Vorrei solo chiarire una cosa. Il mio non era affatto un rimprovero (anche perchè non ne ho diritto), ma solo un incoraggiamento.
Puoi farcela da solo con un po' di studio.
Resta il fatto che, se ci sono dubbi precisi, sarò lieto di aiutarti.
pultroppo non riesco da solo...vabbe mi arrangerò domani.
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