Sottospazio ortogonale

Superandri91
Ciao. Non riesco a risolvere un punto di un esercizio:
"Si consideri il sottospazio $V={(x,y,z,t) in R^4 | x+y-z-t=0, x-2t=0}$
di R^4.
a) Determinare la dimensione e una base di V.
b) Determinare la dimensione e una base del sottospazio ortogonale di V rispetto al prodotto scalare standard."
Per il primo punto nessun problema, per il secondo non so cosa fare. Chi mi da una mano?
Grazie ;)

Risposte
zavo91
allora per fare il punto b devi partire dalla soluzione del punto a.Io ho trovato che la base di V è ((2,0,1,1),(0,1,1,0)). da questa soluzione fai il sistema$\{(2x + z + t = 0),(y + z = 0):}$ e dovrebbe venire $\{(x = h),(y= k),(z =-k),(t=-2h+k):}$ sommi questi valori e trovi che k=-3h sostituisci i valori di K con -3h e trovi la base $(h,-3h,3h,-5h)$ per h=1 hai la base $(1,-3,3,-5) $ dovrebbe essere così aspetta notizie da altri

Lorin1
Se non ricordo male, quando studai l'esame di geometria che trattava questo argomento, ricordo che la prof ci disse che per trovare il complemento ortogonale di un sottospazio rispetto al prodotto scalare standard bastava prendere le equazioni del sottospazio e considerare i coefficienti vicino le incognite, per capire chi erano il vettori del complemento ortogonale. Nel nostro caso dalla prima equazione ricaviamo il vettore: $(1,1,-1,-1)$ dalla seconda equazione ricaviamo $(1,0,0,-2)$

Superandri91
sinceramente lorin non ho capito come hai fatto? zavo sei sicuro di questo metodo? dove l'hai trovato? :)

zavo91
soluzione di altri fatta all'esame ed è giusto

Superandri91
ok! quindi prendo le basi, faccio il sistema, poi devo sommare i valori di x y z e t e sostituire i valori in un'unica variabile... poi ricavo la base, tra l'altro in questo caso la dimensione è 1. giusto? questo vale sempre ? grazie

zavo91
si vale sempre quando devi trovare quello che ti viene chiesto in questo esercizio....si la dimensione è 1

Lorin1
"zavo91":
si vale sempre quando devi trovare quello che ti viene chiesto in questo esercizio....si la dimensione è 1


Allora c'è qualcosa che non va nel procedimento. Se prendiamo un sottospazio vettoriale $V$ con $dimV=2$ e vogliamo trovare il suo complemento ortogonale allora se siamo in $RR^4$ il complemento ortogonale avrà dimensione 2, non può avere dimensione 1, infatti essi sono sommandi diretti.

@superandri: che cosa non hai capito!?

Superandri91
non ho capito bene come l'hai ricavato! e non penso che la mia prof accetti il tuo metodo... troppo vago! sei sicuro che deve avere dimensione 2? mi sembra strano perchè zavo dice che è soluzione d'esame quindi non può essere sbagliato...

Lorin1
Ma hai tipo un libro di geometria!? xD
Non è per infangare ciò che dice Zavo, ma comunque stai parlando con una persona che qualcosa di matematica ci capisce e che ha superato tutti gli esami di base di geometria. Ora può essere che il mio metodo non ti piaccia (intanto se lo provi funziona), ma sicuramente il fatto che uno sottospazio vettoriale e il suo complementare siano sommandi diretti è una cosa davvero di base, per questo mi permetto di insistere. Se poi non hai un libro o non lo vuoi usare basta guardare anche su wikipedia http://it.wikipedia.org/wiki/Sottospazio_ortogonale

dissonance
"zavo91":
allora per fare il punto b devi partire dalla soluzione del punto a.Io ho trovato che la base di V è ((2,0,1,1),(0,1,1,0)). da questa soluzione fai il sistema$\{(2x + z + t = 0),(y + z = 0):}$ e dovrebbe venire $\{(x = h),(y= k),(z =-k),(t=-2h+k):}$ sommi questi valori e trovi che k=-3h sostituisci i valori di K con -3h e trovi la base $(h,-3h,3h,-5h)$ per h=1 hai la base $(1,-3,3,-5) $ dovrebbe essere così aspetta notizie da altri
Ah, quindi secondo te il complemento ortogonale di $V$ ha dimensione 1, e siccome $V$ ha dimensione 2 ne concludiamo che $4="dim"RR^4=3=2+1$. Quindi $4=3$: c'è qualcosa che non va, non trovi?
soluzione di altri fatta all'esame ed è giusto
Questo è il modo peggiore di studiare. Quello che fanno "gli altri" non è mai da prendere per buono senza averci ragionato su.

Superandri91
No. Prima di tutto non sto mettendo affatto in discussione le conoscenze di Lorin, perchè si vede che sa le cose (e non lo dico per lodarlo) :)
Io stavo solo dicendo che se zavo91 dice che l'ha controllata con gli altri e che è giusta, non vedo perchè non dovrei credergli, soprattutto io che non saprei nemmeno come fare!
Purtroppo il mio libro di algebra accenna solamente questo argomento e quindi non so cosa fare...

zavo91
si scusate avete ragione voi ci penso

zavo91
a questo punto vorrei sapere anche io come trovare l'altra base...visto che la prima che ho trovato sono sicuro che è giusta...molto probabilmente è come dice lorin prendi un'equazione del sottospazio per esempio la prima e prendi i coefficienti di tale eqazione e quella è la seconda base quindi nel nostro caso le basi del sottospazio ortogonale sono $(1,1,-1,-1)$ e $(1,-3,3,-5)$...però vorrei capire il perchè della prima base

Superandri91
anchio! non capisco davvero che metodo è... e soprattutto perchè si fa cosi!

dissonance
perché si fa così?
Prendiamo un caso più semplice, l'equazione di un piano in $RR^3$:

$ax+by+cz=0$.

In forma compatta essa si riscrive

$(a, b, c) cdot (x, y, z)=0$.

A parole, le soluzioni di questa equazione (ovvero i vettori del piano) sono tutti e soli i vettori ortogonali al vettore $(a, b, c)$. Quindi $(a, b, c)$ è un vettore ortogonale al piano assegnato.

Superandri91
sinceramente non ho capito molto! comunque sapresti aiutarmi a risolvere l'esercizio spiegando cosa fai?

dissonance
"Superandri91":
sinceramente non ho capito molto! comunque sapresti aiutarmi a risolvere l'esercizio spiegando cosa fai?
Cosa non hai capito? Hai riflettuto su quello che ho scritto? Se chiedi spiegazioni più precise posso cercare di essere più chiaro. Invece una cosa che sicuramente non farò è risolvere l'esercizio. E' perfettamente inutile per tutti e due.

Superandri91
se lo dici tu... era per capire a livello pratico, dato che a livello teorico ho capito poco o niente.

dissonance
"Superandri91":
se lo dici tu... era per capire a livello pratico, dato che a livello teorico ho capito poco o niente.
Capire a livello teorico è condizione necessaria per capire a livello pratico. In altri termini, è impossibile capire la pratica senza avere precedentemente capito la teoria. Quindi se mi chiedi di spiegarti meglio la teoria sono disponibile a farlo, a patto che tu mostri dell'impegno nello spiegare quali sono i punti non chiari. Altrimenti non posso aiutarti, purtroppo.

Superandri91
Okok! I punti non chiari sono fondamentalmente tutti! No ho capito proprio che fare!

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