Sottospazio non connesso
consideriamo $R^2$ con la topologia euclidea. Sia B il seguente sottospazio
$B={(x,y) in R^2: x^2+y^2=1}$ unito ${(x,y) in R^2: x^2+y^2=2}$
sulle soluzioni c'è scritto: si vede che questo sottospazio non è connesso: gli aperti dati da ${(x,y)| x^2+y^2 > 3/2}$ e ${(x,y)| x^2+y^2 <3/2}$ lo sconnettono...
ma come han fatto ha trovare quegli aperti??? da dove è uscito quel $3/2$?
invece questop sottospazio
$C={(x,y) in R^2: x^2+(y-1)^2=1}$ unito ${(x,y) in R^2: x^2+(y+1)^2=1}$
è connesso, ma come si fa a vedere, disegnando le circonferenze?
$B={(x,y) in R^2: x^2+y^2=1}$ unito ${(x,y) in R^2: x^2+y^2=2}$
sulle soluzioni c'è scritto: si vede che questo sottospazio non è connesso: gli aperti dati da ${(x,y)| x^2+y^2 > 3/2}$ e ${(x,y)| x^2+y^2 <3/2}$ lo sconnettono...
ma come han fatto ha trovare quegli aperti??? da dove è uscito quel $3/2$?
invece questop sottospazio
$C={(x,y) in R^2: x^2+(y-1)^2=1}$ unito ${(x,y) in R^2: x^2+(y+1)^2=1}$
è connesso, ma come si fa a vedere, disegnando le circonferenze?
Risposte
$3/2$ è semplicemente la media tra $1$ e $2$. Si tratta di due circonferenze concentriche e i due aperti di $RR^2$ più sensati da prendere è quindi l'interno di una circonferenza compresa tra le due e l'esterno di questa stessa circonferenza. La scelta di $3/2$ è per comodità ma andava bene anche $\pi/2$ o $6/5$ o ... qualsiasi altro numero reale compreso tra $1$ e $2$.
L'insieme $C$ è ancora l'unione di due circonferenze, questa volta non sono però concentriche e si intersecano in un punto. $(0, 0)$ è infatti un punto comune ad entrambe le circonferenze. L'insieme è quindi connesso. In questi casi semplici, un insieme connesso è semplicemente un insieme formato da un pezzo solo.
L'insieme $C$ è ancora l'unione di due circonferenze, questa volta non sono però concentriche e si intersecano in un punto. $(0, 0)$ è infatti un punto comune ad entrambe le circonferenze. L'insieme è quindi connesso. In questi casi semplici, un insieme connesso è semplicemente un insieme formato da un pezzo solo.
ah ecco, ok.....più tardi faccio un'altra domanda sempre su questo problema che ora devo proprio uscire, grazie intanto ciao 
eccomi...allora poi si definisce un altro insieme
$A={(x,y)inR^2 : x^2+(y-1)^2=1}$ unito ${(x,y)inR^2 : x^2+(y-2)^2=4}$
e mi si chiede di verificare se A,B,C sono omeomorfi.
B non essendo connesso non può essere omeomorfo a C e A
quindi si verifica che A e C sono omeomorfi
per far questo fanno cosi
definiamo la funzione $f:C->A$ cosi
$f(x,y)=\{((x,y),if x^2+(y-1)^2=1),((2x,-2y), if x^2+(y+1)^2=1):}$
e dice f è ben definita perchè f(0,0)=(0,0), è continua da un compatto a uno spazio di hausdorff, quindi è un omeomorfismo..
allora ho due domande:
1)perchè definisce la funzione cosi?
2)perchè C è un compatto??
$A={(x,y)inR^2 : x^2+(y-1)^2=1}$ unito ${(x,y)inR^2 : x^2+(y-2)^2=4}$
e mi si chiede di verificare se A,B,C sono omeomorfi.
B non essendo connesso non può essere omeomorfo a C e A
quindi si verifica che A e C sono omeomorfi
per far questo fanno cosi
definiamo la funzione $f:C->A$ cosi
$f(x,y)=\{((x,y),if x^2+(y-1)^2=1),((2x,-2y), if x^2+(y+1)^2=1):}$
e dice f è ben definita perchè f(0,0)=(0,0), è continua da un compatto a uno spazio di hausdorff, quindi è un omeomorfismo..
allora ho due domande:
1)perchè definisce la funzione cosi?
2)perchè C è un compatto??
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