Sottospazio intersezione

[sradesca]

salve ragazzi ho un'altra domanda per voi: some si trova una base del sottospazio intersezione di due spazi vettoriali?
Es. prendo i due Span{(1,2,3),(1,0,0)} e Span{(0,0,1),(2,2,0)} come si trova la base dell'intersezione? per il sottospazio somma è facile unisco i vettori del primo Span con quelli del secondo ed estraggo una famiglia massimale di vettori linearmente indipendenti.

[perplesso1]

Siano $ V_{1}=Span{(1,2,3),(1,0,0)} $ e $ V_{2}=Span{(0,0,1),(2,2,0)} $ Un vettore che fa parte dell'intersezione si può esprimere come combinazione lineare dei vettori di ognuna delle due basi cioè $ w = x(1,2,3)+y(1,0,0)=z(0,0,1)+t(2,2,0) $ con x,y,z,t scalari, quindi $ (x+y,2x,3x)=(2t,2t,z) $ e da qui impostiamo un simpatico sistema (uguagliando le coordinate) in tre equazioni e quattro incognite e trovi che lo spazio delle soluzioni è $ {(t,t,3t), t \in R }=Span{(1,1,3)} $ perciò $ w = 1(1,2,3)+1(1,0,0)=3(0,0,1)+1(2,2,0)=(2,2,3) $ e l'intersezione è $ Span{(2,2,3)} $

[luluemicia]

ciao simo90,
due strade:
1) trova il sottospazio unione come hai detto e trovi proprio......
2) il primo lo puoi rappresentare con $3y-2z=0$, il secondo $x=y$, metti a sistema e ......

[sradesca]

@perplesso
ma la soluzione del sistema non è già t(1,1,3)? e poi perché hai molitplicato i vettori di V1 e V2 per quei coefficienti? l'ultimo dove l'hai preso? grazie
@luluemicia
1)..la base del sottospazio somma
2)come fai a rappresentare il primo Span con 3y-2z=0?
grazie

[perplesso1]

Ti è sfuggita la parte in cui ho detto che x,y,z,t, sono scalari che abbiamo usato per esprimere w come combinazione lineare dei vettori delle due basi. Ho solo sostituito le soluzioni trovate qui

"perplesso": $ w = x(1,2,3)+y(1,0,0)=z(0,0,1)+t(2,2,0) $ con x,y,z,t scalari

il valore di t l'ho scelto arbitrariamente (poteve scegliere pure 37 se volevo complicarmi la vita xD, chiaramente poi veniva x=y=37 e z=37*3 )

Il metodo proposto da luluemicia consiste invece nel trovare le equazioni cartesiane dei due autospazi e metterle a sistema, che è comunque un ottimo metodo

[luluemicia]

per esempio puoi fare così: da $h(1,2,3)+k(1,0,0)=(x,y,z)$ hai un sistema in h e k che ha soluzioni se e solo se il det della matrice completa è 0 (perchè così i due ranghi valgono entrambi 2).