Sottospazio in somma diretta

[21ire]

Buongiorno a tutti
Se qualcuno è cosi paziente da rispondermi, vi posto un esercizio che non sono riuscita a fare
sia $ A:( ( 0 , -1 , 1 , 1 ),( 1 , 0 , 1 , -1 ),( 1 , 1 , 2 , 2 ) ) $ la matrice associata, rispetto alle basi canoniche in partenza e in arrivo, ad $L_(A): R^4 -> R^3$
determina un sottospazio di $R^3$ che sia in somma diretta con $ Span(L_(A)(1,0,1,0)^T , L_(A)(0,1,-1,0)^T )$

allora io so che due spazi sono in somma diretta se l'intersezione è costituita dal solo vettore nullo.. ma stupidamente non ho la più pallida idea di come si possa risolvere l'esercizio

grazie anticipatamente per la gentilezza

Irene

[Sk_Anonymous]

Calcolo dapprima le immagini dei vettori dello Span:
\(\displaystyle L_A \begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix} =A \cdot \begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} \)
\(\displaystyle L_A \begin{pmatrix}0\\1\\-1\\0\end{pmatrix} =A \cdot \begin{pmatrix}0\\1\\-1\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-2\\-1\\-1\end{pmatrix} \)
Pertanto abbiamo il sottospazio corrispondente :
\(\displaystyle U=Span \left[ \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} , \begin{pmatrix}-2\\-1\\-1\end{pmatrix} \right] \)
Considero ora un vettore ( uno dei tanti possibili) che sia lin. ind. dai vettori che compongono U, per esempio :
\(\displaystyle w= \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \)
Pongo :
\(\displaystyle W=Span[w]=Span\left [\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right] \)
e questo è il sottospazio richiesto (uno dei tanti possibili) dal momento che, per come sono stati costruiti U e W, si ha :
$mathbb{R^3}=U\oplusW$

[21ire]

perfetto! chiarissimo davvero grazie mille