Sottospazio generato da funzioni

[KiDMiO]

Salve a tutti
Volevo porvi questa esercizio di algebra che mi risulta un po' inusuale e sul quale ho un po' di dubbi
Sarò io che dopo un sacco di esercizi mi impallo ma perdere ancora tempo a ragionarci sù sarebbe davvero troppo
Non vi chiedo di scrivermi tutti i calcoli,bastano i ragionamenti
Fate anche troppo a risolvere problemi di sconosciuti

Grazie mille per qualsiasi suggerimento


Nello spazio vettoriale delle funzioni lineare $f:R^4->R$ sia $V$ il sottospazio generato dalle funzioni $f_1,f_2,f_3$ con:
$f_1(x_1,....,x_4)=2x_1-x_2+x_4$
$f_2(x_1,....,x_4)=x_1+2x_2-x_3+2x_4$
$f_3(x_1,....,x_4)=3x_1-4x_2+x_3$

A- Si determini la dimensione e una base di $v$

Da quello che ho capito $V$ è generato dalle 3 funzioni,quindi mettendo a sistema le tre equazioni risulta uno spazio vettoriale di dimensione 2 con i due relativi vettori della base

B- Si determini una funzione lineare $f€V$ tale che $f(1,0,0,0)=5$ e$f(0,0,0,1)=4$
Non l'ho capita sinceramente

C-Si determini l'intersezione dei nuclei di tutte lef appartenenti a V
Ora se solo due di queste funzioni generano V,basta porre l'equazione di queste 2 funzioni uguali a 0 e trovare le basi dei nuclei?

D- Sia $W={F:R^4->R$ tale che f è lineare e $f(1,1,-2,-2)=0 }$ Si determini una base di $V$ intersecato $W$

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Ti conviene identificare la funzione $f$ con la quaterna $(f(e_1),f(e_2),f(e_3),f(e_4))$ dove $\{e_1,e_2,e_3,e_4\}$ è la base canonica (ti lascio pensare sul perché questa corrispondenza è biunivoca). In questo modo gli elementi del tuo spazio sono vettori a quattro coordinate. Le tre funzioni date sono anch'esse identificate a vettori quindi la domanda A diventa del tutto standard. La domanda B ti sta chiedendo (con l'identificazione che ho detto) di trovare un vettore la cui prima componente è 5 e la cui ultima componente è 4 (capirai che anche questa domanda è diventata banale). La terza domanda ti sta chiedendo di trovare i vettori il cui prodotto scalare coi tre generatori dati è zero (infatti con l'identificazione che ho detto $f(v)=0$ significa che $v$ è ortogonale al vettore corrispondente a $f$). La domanda D ti sta definendo W dando una condizione lineare e se provi a pensare all'identificazione che ho detto anche questa domanda diventa del tutto standard.