Sottospazio generato con parametro variabile
Consideriamo S sottospazio di R_4 , dove S è generato da questi 3 vettori :
u=(1, t, 1, 0 ) v=(1,1,t,-1) w=(-2,-2,-2,1) per ogni t di R .
L'esercizio richiede di determinare la dimensione di S al variare di t in R .
Ora , io ho provato facendo la riduzione di gauss-jordan alla matrice composta dai 3 vettori
1 t 1 0
1 1 t -1
-2 -2 -2 1
che diventa alla fine
1 t 1 0
0 (1-t) (t-1) -1
0 0 (2t-2) -1
solo che adesso non so piu' come andare avanti e trovare la dimensione di S.
Mi aiutate ? Voglio davvero capire perchè quando ho un parametro vado in panico...
u=(1, t, 1, 0 ) v=(1,1,t,-1) w=(-2,-2,-2,1) per ogni t di R .
L'esercizio richiede di determinare la dimensione di S al variare di t in R .
Ora , io ho provato facendo la riduzione di gauss-jordan alla matrice composta dai 3 vettori
1 t 1 0
1 1 t -1
-2 -2 -2 1
che diventa alla fine
1 t 1 0
0 (1-t) (t-1) -1
0 0 (2t-2) -1
solo che adesso non so piu' come andare avanti e trovare la dimensione di S.
Mi aiutate ? Voglio davvero capire perchè quando ho un parametro vado in panico...
Risposte
forse sbaglio...
ma in questo caso io mi scriverei la matrice con i tre vettori che mi sono stati dati e mi calcolerei il determinante, di sicuro credo uscirà in funzione del parametro t, in questo caso lo porrei uguale a zero ed andrei a vedere i valori per cui t soddisfa l'equazione.
Una volta trovati i valori riscrivo la matrice mettendo al posto di t il valore trovato e calcolo il determinante o il rango della matrice, a seconda dei casi la dimensione cambierà...
Cmq dato che la devi considerare in R^4 ed hai tre vettori credo che il sottospazio non avrà di sicuro dimensione 4 per il fatto che la matrice iniziale non ha rango quattro.
Cmq credo di aver detto delle cavolate, forse... quindi forse è meglio che aspetti qualcuno pià competente che ti aiuti
ma in questo caso io mi scriverei la matrice con i tre vettori che mi sono stati dati e mi calcolerei il determinante, di sicuro credo uscirà in funzione del parametro t, in questo caso lo porrei uguale a zero ed andrei a vedere i valori per cui t soddisfa l'equazione.
Una volta trovati i valori riscrivo la matrice mettendo al posto di t il valore trovato e calcolo il determinante o il rango della matrice, a seconda dei casi la dimensione cambierà...
Cmq dato che la devi considerare in R^4 ed hai tre vettori credo che il sottospazio non avrà di sicuro dimensione 4 per il fatto che la matrice iniziale non ha rango quattro.
Cmq credo di aver detto delle cavolate, forse... quindi forse è meglio che aspetti qualcuno pià competente che ti aiuti
Non so se è il modo giusto , hai visto come ho provato io ? pensi che sia totalmente sbagliato ? Vorrei delle certezze.
non so se ha molto senso quello che hai fatto tu, credo che tu volessi diagonalizzare la matrice per calcolarti il determinante, ma non puoi perchè la matrice non è quadrata! e non puoi fare la diagonale di una matrica non quadrata...
Secondo me, ed io farei così e secondo me è giusto, farei questi ragionamenti:
1. Lo spazio è considerato in R^4 e tu hai tre vettori, quindi sicuramente la dimensione del tuo sottospazio è minore di 4, perchè il rango di quella matrice è inferiore a quattro.
2. Mi calcolerei il rango, cioè il max numero di colonne indipendenti che si possono estrarre da quella matrice, e da quello mi ricaverei la dimensione. Il rango uscirà in funzione di t, quindi ti basta porre quello che trovi uguale a zero vedere per quale valore di t si annulla. Procedi così per tutti i casi...
Io farei così! ma dato che studio ingegneria e non matematica, è probabile che mi sia sfuggita qualcosa
ma ripeto, io farei così!
Secondo me, ed io farei così e secondo me è giusto, farei questi ragionamenti:
1. Lo spazio è considerato in R^4 e tu hai tre vettori, quindi sicuramente la dimensione del tuo sottospazio è minore di 4, perchè il rango di quella matrice è inferiore a quattro.
2. Mi calcolerei il rango, cioè il max numero di colonne indipendenti che si possono estrarre da quella matrice, e da quello mi ricaverei la dimensione. Il rango uscirà in funzione di t, quindi ti basta porre quello che trovi uguale a zero vedere per quale valore di t si annulla. Procedi così per tutti i casi...
Io farei così! ma dato che studio ingegneria e non matematica, è probabile che mi sia sfuggita qualcosa
ma ripeto, io farei così!
Allora, ho provato come mi hai proposto.
la matrice in questione ha due minori di ordine 3 , quindi calcolo il determinante di entrambi e vedo quando esso si annulla , se per lo stesso valore si annullano entrambi allora avrò capito che la matrice NON HA rango 3 , giusto ?
Facendo i calcoli viene questo risultato , il primo minore ha determinante : -2t^2 +4t -2 , il quale si annulla per t=1 .
il secondo minore ha determinante : t^2 + 1 , che non si annulla mai ....
COnclusione " La matrice ha rango 3 qualunque sia t " ?
la matrice in questione ha due minori di ordine 3 , quindi calcolo il determinante di entrambi e vedo quando esso si annulla , se per lo stesso valore si annullano entrambi allora avrò capito che la matrice NON HA rango 3 , giusto ?
Facendo i calcoli viene questo risultato , il primo minore ha determinante : -2t^2 +4t -2 , il quale si annulla per t=1 .
il secondo minore ha determinante : t^2 + 1 , che non si annulla mai ....
COnclusione " La matrice ha rango 3 qualunque sia t " ?
emh...
per t diverso da 1 la matrice ha rango 3, però se t = 1 allora il rango scende a due.
Credo...!
per t diverso da 1 la matrice ha rango 3, però se t = 1 allora il rango scende a due.
Credo...!
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