Sottospazio euclideo generato da un insieme di punti

[marco.bre]

Ciao a tutti, ho un problema con questo esercizio sugli spazi euclidei. Praticamente in $bbb{E}^4$ (con riferimento affine standard) sono dati i punti $P_1=(1,0,0,1)$, $P_2=(0,1,-1,0)$, $P_3=(0,0,-1,-1)$, $P_4=(2,0,1,3)$ e bisogna trovare la dimensione del sottospazio S da essi generato e un suo sistema di equazioni cartesiane.

Allora, definisco la matrice M avente per righe le coordinate dei punti

$M=((1,0,0,1),(0,1,-1,0),(0,0,-1,-1),(2,0,1,3))$;

essendo il suo determinante nullo i quattro punti sono affinemente dipendenti. Osservo che il rango di M è 3, in fatti il minore

$((1,0,0),(0,1,-1),(0,0,-1))$

è non singolare e quindi i tre punti $P_1$, $P_2$, $P_3$ sono affinemente indipendenti da cui dim(S)=3.

Ora per trovare un sistema di equazioni per S impongo la condizione

$rk((bar{P_1X}),(bar{P_1P_2}),(bar{P_1P_3}))=3$

dove X è un generico punto (x,y,z,w) di $bbbE^4$; ottengo quindi

$rk((x-1,0,0,w-1),(-1,1,-1,-1),(1,0,1,2))=3$.

Ora, come faccio ad imporre questa condizione? Pondendo in sistema di determinanti dei 6 minori di ordine tre diversi da zero? Il fatto è che l'equazione di un sottospazio si ottiene da condizioni di uguaglianza; ad esempio si impone che il rango di una matrice 4xm sia 3 ponendo i determinanti dei suo minori di ordine 4 siano nulli.

Sapete darmi una mano? Grazie, Marco.

[M.C.D.1]

La dimensione non e' tre
Ricorda sempre che il sottospazio generato da h punti indipendenti [tex]A_1 v .... v A_h[/tex] e' definito come Il sottospazio passante per Uno dei punti (ad esempio [tex]A_1[/tex]) e avente giacitura [tex](A_1A_2 \dots A_1A_h)[/tex]

I vettori che generano il tuo sottospazio sono [tex]P_1P_2[/tex] e [tex]P_1P_3[/tex]
Quindi il tuo sottospazio ha dimensione 2


Quindi Il Rango Di Quella Matrice Devi Porlo Uguale a Due
Dopodiche'

Puoi, sfruttando la matrice, trovare un minore di ordine 2 non nullo
e applicando il principio dei minori orlati Imporre che i minori di ordine 3 ottenuti orlando il tuo minore di ordine due siano 0

Prova Adesso e posta la tua soluzione

[marco.bre]

Ok, allora dati n punti affinemente indipendenti la dimensione del sottospazio S da questi generato è dim(S)=n-1. Comunque ,riprendendo l'esercizio, abbiamo imposto la condizione

$rk((bar{P_1X}),(bar{P_1P_2}),(bar{P_1P_3})) = rk((x-1,0,0,w-1),(-1,1,-1,-1),(1,0,1,2))=2$;

osserviamo che il minore

$((-1,1),(1,0))$

ha determinante non nullo, quindi per il principio dei minori orlati la condizione precedente si ottiene imponendo i due determinanti dei minori di ordine 3 contenenti questo minore di ordine 2 pari a zero. Otteniamo il seguente sistema

${(det((x-1,0,0),(-1,1,-1),(1,0,1))=0),(det((x-1,0,w-1),(-1,1,-1),(1,0,2))=0):}$

segue (applicando la regola di Laplace rispetto alla colonna centrale)

${(det((x-1,0),(1,1))=x-1=0),(det((x-1,w-1),(1,2))=2x-w-1=0):}$

dunque un sistema di equazioni cartesiane per S è dato da

$S:{(x=1),(w=1):}$.