Sottospazio e base
Dato un ssv in R^3 W={(1,1,1),(1,2,2),(1,3,3)}
devo determinare dimensione di W e una sua base B
Inizio con il calcolare la loro indipendenza mettendo a sistema i 3 vettori
Da questo risulta che i vettori indipendenti sono (1,1,1),(0,1,1) e sono una base di W che ha dimensione 2.
adesso mi chiede di completare B in una base di R^3.. come fare?
poi mi chiede se il vettore v=(1,0,0) appartiene al ssv W e determinare le coordinate rispetto alla sua base
a partire dalla base b creo un sistema {x=1; x+y=0; z=0} e ne esce che v appartiene a W e le coordinate sono (1,-1,0)
infine determinare un ssv T di R^3 di dim=2 tale che la dim dell'intersezione fra W e T sia = 1, anche questo come si fa?
se ho sbagliato qualcosa correggetemi per favore.
devo determinare dimensione di W e una sua base B
Inizio con il calcolare la loro indipendenza mettendo a sistema i 3 vettori
Da questo risulta che i vettori indipendenti sono (1,1,1),(0,1,1) e sono una base di W che ha dimensione 2.
adesso mi chiede di completare B in una base di R^3.. come fare?
poi mi chiede se il vettore v=(1,0,0) appartiene al ssv W e determinare le coordinate rispetto alla sua base
a partire dalla base b creo un sistema {x=1; x+y=0; z=0} e ne esce che v appartiene a W e le coordinate sono (1,-1,0)
infine determinare un ssv T di R^3 di dim=2 tale che la dim dell'intersezione fra W e T sia = 1, anche questo come si fa?
se ho sbagliato qualcosa correggetemi per favore.
Risposte
La dimensione di $W$ è 2 , quindi corretta.
Per completare a $RR^3$ ci aggiungerei il più semplice vettore cioè $e_1= (1,0,0) $ che senz'altro è linearmente indipendente dagli altri 2 vettori.
Per completare a $RR^3$ ci aggiungerei il più semplice vettore cioè $e_1= (1,0,0) $ che senz'altro è linearmente indipendente dagli altri 2 vettori.
quindi per completarlo devo aggiungere semplicemente un vettore linearmente indipendente agli altri, per il calcolo delle coordinate devo usare la base completa o quella con due vettori?(mi rendo conto che il risultato sarà lo stesso)
Servono solo i due vettori.
e per l ultimo punto, quello di trovare l' ssv T?
Chiamiamo i vettori di una base di $RR^{3}$, $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}$.
Con i primi due vettori hai "costruito" lo spazio $W$ con gli ultimi due puoi costruire lo spazio $T$. Entrambi hanno dimensione $2$ e l'intersezione è il sottospazio generato dal vettore $\vec{y}$ che ha dimensione uno.
Con i primi due vettori hai "costruito" lo spazio $W$ con gli ultimi due puoi costruire lo spazio $T$. Entrambi hanno dimensione $2$ e l'intersezione è il sottospazio generato dal vettore $\vec{y}$ che ha dimensione uno.
Costruire lo spazio T del tipo T={(2,1,1),(4,3,3)}?
Avevi due vettori lin.indipendenti $(1,1,1),(1,2,2)$, un terzo vettore indipendente può essere $(1,0,1)$.
Quindi lo spazio $W$ è generato dai vettori $(1,1,1),(1,2,2)$ mentre lo spazio $T$ è generato ad esempio dai vettori $(1,2,2),(1,0,1)$.
Quindi lo spazio $W$ è generato dai vettori $(1,1,1),(1,2,2)$ mentre lo spazio $T$ è generato ad esempio dai vettori $(1,2,2),(1,0,1)$.
@robik90,
mi sfugge qualcosa
se \( \Bbb{R}^3 \supseteq W=\{(1,1,1),(1,2,2),(1,3,3)\} \) mi spieghi come fa ad essere sottospazio vettoriale di \( \Bbb{R}^3 \)?? (non mi sembra che \( 0_{\Bbb{R}^3} \in W \), e non solo 
).... Magari volevi/dovevi scrivere $$W=\mathscr{L}((1,1,1),(1,2,2),(1,3,3))$$ o, se ti è più familiare, in una delle altre scritture $$ W=<((1,1,1),(1,2,2),(1,3,3))>=\operatorname{Span}((1,1,1),(1,2,2),(1,3,3))$$Saluti
"robik90":
Dato un ssv in R^3 W={(1,1,1),(1,2,2),(1,3,3)}
devo determinare dimensione di W e una sua base B
mi sfugge qualcosa
se \( \Bbb{R}^3 \supseteq W=\{(1,1,1),(1,2,2),(1,3,3)\} \) mi spieghi come fa ad essere sottospazio vettoriale di \( \Bbb{R}^3 \)?? (non mi sembra che \( 0_{\Bbb{R}^3} \in W \), e non solo ).... Magari volevi/dovevi scrivere $$W=\mathscr{L}((1,1,1),(1,2,2),(1,3,3))$$ o, se ti è più familiare, in una delle altre scritture $$ W=<((1,1,1),(1,2,2),(1,3,3))>=\operatorname{Span}((1,1,1),(1,2,2),(1,3,3))$$Saluti
si hai ragione si trattava di uno span, comunque come hai fatto a capirlo?
@robik90,
come ho fatto a capire cosa? Che hai sbagliato notazione?
Saluti
P.S. = E poi:
da dove vengono quei vettori? In particolare, da dove viene \( (0,1,1)\)?
edit : sai che \( \dim_\Bbb{R}(W) \leq 3 \)... dalle ipotesi abbiamo \( W =\operatorname{Span}((1,1,1),(1,2,2),(1,3,3)) \) se \(((1,1,1),(1,2,2),(1,3,3)) \) è anche libero su \( \Bbb{R} \) allora abbiamo una base per \( W \) e la \( \dim_\Bbb{R}(W) =3\)
Ma \(((1,1,1),(1,2,2),(1,3,3))\) non è libero su \( \Bbb{R}\) ergo \( \dim_\Bbb{R}(W) \leq 2 \), determinando quali fosse libero su \( \Bbb{R}\), ovvero \(((1,1,1),(1,2,2))\), abbiamo che \((1,3,3) \in \mathscr{L}(((1,1,1),(1,2,2)) \) allora \( W=\operatorname{Span}((1,1,1),(1,2,2))\) ed essendo \(((1,1,1),(1,2,2))\) libero su \( \Bbb{R}\) allora \(((1,1,1),(1,2,2))\) è base per \( W \) e certamente/ovviamente \(\dim_\Bbb{R}(W)=2 \)...
moolto semplicemente, qualsiasi \((w_1,w_2,w_3)\), con \(w_1,w_2,w_3 \in \Bbb{R}^3 \), libero su \( \Bbb{R} \) è base per \( \Bbb{R}^3 \).. \( w_1,w_2 \) sono già noti, ovvero \( w_1=(1,1,1), w_2=(1,2,2)\), ergo ti basta prende un vettore \( w_3\) tale che \( w_3 \neq 0_{\Bbb{R}^3}\) e \( w_3 \notin \mathscr{L}((1,1,1),(1,2,2))\)...
tu ottieni il sistema \(\left\{\begin{matrix}
x=1\\
x+y=0\\
z=0
\end{matrix}\right.\)
come hai fatto? Se quelle sono le cartesiane di \( W \) rispetto alla base \(((1,1,1),(1,2,2))\) allora sono errate; io ottengo, come condizione, su di un generico vettore \(\Bbb{R}^3 \ni (x,y,z)\in W\) che \( y=z\), quindi \((1,0,0) \in W \), ma cosa è quel sistema non l'ho capito... le coordinate di \( (1,0,0)\) rispetto alla base \( \text{B}:=((1,1,1),(1,2,2))\), ovvero \( [(1,0,0)]_\text{B}\), sono \( (2,-1)\) e non \((1,-1,0)\), abbiamo detto che \( \dim_\Bbb{R}(W)=2 \) da dove e come le calcoli?...
almeno qui.. aspetto un tuo ulteriore tentativo!
"robik90":
si hai ragione si trattava di uno span, comunque come hai fatto a capirlo?
come ho fatto a capire cosa? Che hai sbagliato notazione?
Saluti
P.S. = E poi:
"robik90":
Inizio con il calcolare la loro indipendenza mettendo a sistema i 3 vettori
Da questo risulta che i vettori indipendenti sono (1,1,1),(0,1,1) e sono una base di W che ha dimensione 2.
da dove vengono quei vettori? In particolare, da dove viene \( (0,1,1)\)?
edit : sai che \( \dim_\Bbb{R}(W) \leq 3 \)... dalle ipotesi abbiamo \( W =\operatorname{Span}((1,1,1),(1,2,2),(1,3,3)) \) se \(((1,1,1),(1,2,2),(1,3,3)) \) è anche libero su \( \Bbb{R} \) allora abbiamo una base per \( W \) e la \( \dim_\Bbb{R}(W) =3\)
Ma \(((1,1,1),(1,2,2),(1,3,3))\) non è libero su \( \Bbb{R}\) ergo \( \dim_\Bbb{R}(W) \leq 2 \), determinando quali fosse libero su \( \Bbb{R}\), ovvero \(((1,1,1),(1,2,2))\), abbiamo che \((1,3,3) \in \mathscr{L}(((1,1,1),(1,2,2)) \) allora \( W=\operatorname{Span}((1,1,1),(1,2,2))\) ed essendo \(((1,1,1),(1,2,2))\) libero su \( \Bbb{R}\) allora \(((1,1,1),(1,2,2))\) è base per \( W \) e certamente/ovviamente \(\dim_\Bbb{R}(W)=2 \)...
"robik90":
adesso mi chiede di completare B in una base di R^3.. come fare?
moolto semplicemente, qualsiasi \((w_1,w_2,w_3)\), con \(w_1,w_2,w_3 \in \Bbb{R}^3 \), libero su \( \Bbb{R} \) è base per \( \Bbb{R}^3 \).. \( w_1,w_2 \) sono già noti, ovvero \( w_1=(1,1,1), w_2=(1,2,2)\), ergo ti basta prende un vettore \( w_3\) tale che \( w_3 \neq 0_{\Bbb{R}^3}\) e \( w_3 \notin \mathscr{L}((1,1,1),(1,2,2))\)...
"robik90":
poi mi chiede se il vettore v=(1,0,0) appartiene al ssv W e determinare le coordinate rispetto alla sua base
a partire dalla base b creo un sistema {x=1; x+y=0; z=0} e ne esce che v appartiene a W e le coordinate sono (1,-1,0)
tu ottieni il sistema \(\left\{\begin{matrix}
x=1\\
x+y=0\\
z=0
\end{matrix}\right.\)
come hai fatto? Se quelle sono le cartesiane di \( W \) rispetto alla base \(((1,1,1),(1,2,2))\) allora sono errate; io ottengo, come condizione, su di un generico vettore \(\Bbb{R}^3 \ni (x,y,z)\in W\) che \( y=z\), quindi \((1,0,0) \in W \), ma cosa è quel sistema non l'ho capito... le coordinate di \( (1,0,0)\) rispetto alla base \( \text{B}:=((1,1,1),(1,2,2))\), ovvero \( [(1,0,0)]_\text{B}\), sono \( (2,-1)\) e non \((1,-1,0)\), abbiamo detto che \( \dim_\Bbb{R}(W)=2 \)
da dove e come le calcoli?... "robik90":
infine determinare un ssv T di R^3 di dim=2 tale che la dim dell'intersezione fra W e T sia = 1, anche questo come si fa?
almeno qui.. aspetto un tuo ulteriore tentativo!
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