Sottospazio dimensione 0 e sottovarietà affine di dim 0
Ragazzi io ho capito cosa sia uno spazio, un sottospazio e anche le dimensioni di quest'ultimo, ad esempio 0 cioè se solo il vettore nullo lo genera ecc ecc ma per quanto riguarda le sottovarietà affini cosa bisogna sapere? Io credo di sapere cosa sia uno spazio affine (cioè uno spazio che gode delle proprietà di incidenza e parallelismo ignorando la lunghezza e l'angolo).
Mi aiutate a capire cosa sia una sottovarietà affine e le relative dimensioni? (sul libri cita solo la dim 0 ed 1)
Grazie mille ragazzi siete fantastici!
Mi aiutate a capire cosa sia una sottovarietà affine e le relative dimensioni? (sul libri cita solo la dim 0 ed 1)
Grazie mille ragazzi siete fantastici!
Risposte
up! 
Cerca di essere più chiaro nell'esporre le tue perplessità. Una sottovarietà lineare ha una ben precisa definizione, e sul libro sono sicuro che ci sia.
"Delirium":
Cerca di essere più chiaro nell'esporre le tue perplessità. Una sottovarietà lineare ha una ben precisa definizione, e sul libro sono sicuro che ci sia.
il libro ne parla brevemente ma non ho capito cosa si intende precisamente per sottovarietà affine...
"smaug":
[quote="Delirium"]Cerca di essere più chiaro nell'esporre le tue perplessità. Una sottovarietà lineare ha una ben precisa definizione, e sul libro sono sicuro che ci sia.
il libro ne parla brevemente ma non ho capito cosa si intende precisamente per sottovarietà affine...[/quote]
A maggior ragione ti conviene riportare qui ciò che del tuo libro ti è oscuro.
Mi è venuta un'idea che forse mi ha fatto capire una cosa...poi eventualmente posto il necessario! 
Grazie ragazzi!
Grazie ragazzi!
Allora se per $W = ker(A)$ intendamo il sottospazio di $R^n$ creato dall'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo, le soluzioni di un sistema non omogeneo sono $\Delta = ker(A) + \xi_0$ dove $\xi_0$ è un vettore di traslazione in pratica, quind il fatto che $\Delta$ non è chiuso rispetto alla somma significa che $\xi_0$ non è soluzione del sistema omogeneo? l'ho capito a intuito, ma se qualcuno mi chiedesse il motivo?
Quindi una sottovarietà lineare affine è un sottoinsieme paralleo a $W$, e si dice che $W^{\prime} = W + \xi_0$
(il libro in una nota domanda: se $\xi_0 \in W?$) in pratica non avrei un sottospazio parallelo ma coincidente?
Ora mi aiutate a capire le dimensioni delle sottovarietà affini?
Il testo dice: Sottovarietà affini di dimensione 0 : sopno costituite ciascuna da un vettore $OQ_0, Q_0 in A^3$ e basta...
però non capisco perchè $dim(W^{\prime}) = dim(W)$ se $W^{\prime}$ ha un vettore in più...forse perchè $dim(...)$ si riferisce al numero di elementi di una base? e perchè $\xi_0$ non ne fa parte? ragazzi sono domande stupide ma fondamentali!
Grazie
Quindi una sottovarietà lineare affine è un sottoinsieme paralleo a $W$, e si dice che $W^{\prime} = W + \xi_0$
(il libro in una nota domanda: se $\xi_0 \in W?$) in pratica non avrei un sottospazio parallelo ma coincidente?
Ora mi aiutate a capire le dimensioni delle sottovarietà affini?
Il testo dice: Sottovarietà affini di dimensione 0 : sopno costituite ciascuna da un vettore $OQ_0, Q_0 in A^3$ e basta...
però non capisco perchè $dim(W^{\prime}) = dim(W)$ se $W^{\prime}$ ha un vettore in più...forse perchè $dim(...)$ si riferisce al numero di elementi di una base? e perchè $\xi_0$ non ne fa parte? ragazzi sono domande stupide ma fondamentali!
Grazie
Devo ammettere che non sono riuscito a capire le tue perplessità, quindi cercherò di fare un discorso un po' generale.
Intanto quello che indichi con \(\displaystyle \xi_{0} \) non è un vettore quanto un punto.
La definizione rigorosa di sottovarietà lineare è la seguente:
Dati un punto \(\displaystyle P \) di \(\displaystyle \mathbb{A}(\mathbb{R}^{n}) \) e un sottospazio vettoriale \(\displaystyle W \) di \(\displaystyle \mathbb{R}^{n} \), chiameremo sottovarietà lineare passante per \(\displaystyle P \) e parallela al sottospazio direttore \(\displaystyle W \), il sottoinsieme \[\displaystyle \mathbb{L}=P + W=\{P + w \ | \ w \in W\} \]
e si dirà dimensione della sottovarietà lineare \(\displaystyle \mathbb{L} \) la dimensione del sottospazio \(\displaystyle W \).
Per prima cosa io ti inviterei a svincolarti un po' dall'intuito geometrico a cui spesso ci si aggancia per capire questi argomenti: può servire per dimensioni ridotte, ma non quando ci si trova a dover proiettare uno spazio \(\displaystyle n \)-dimensionale su di un punto.
Seconda cosa: la dimensione. Come da definizione, la dimensione di una sottovarietà lineare coincide con la dimensione del sottospazio direttore. Una sottovarietà lineare di dimensione \(\displaystyle 0 \) è un punto ( - il punto \(\displaystyle P \) della definizione a cui viene sommato un sottospazio nullo); una s.l. di dimensione \(\displaystyle 1 \) è una retta, di dimensione \(\displaystyle 2 \) un piano. In dimensioni più elevate (\(\displaystyle >3 \)) si parla di iperpiani.
Terza cosa: il perché. Lo spazio affine viene introdotto in primo luogo come struttura algebrica attraverso la quale si cercano di palesare le relazioni sussistenti tra punti e vettori, che spesso vengono considerati come entità interscambiabili. L'astrazione quivi necessaria faciliterà la definizione dello spazio euclideo, che si può considerare come una specie di caso particolare dello spazio affine.
Intanto quello che indichi con \(\displaystyle \xi_{0} \) non è un vettore quanto un punto.
La definizione rigorosa di sottovarietà lineare è la seguente:
Dati un punto \(\displaystyle P \) di \(\displaystyle \mathbb{A}(\mathbb{R}^{n}) \) e un sottospazio vettoriale \(\displaystyle W \) di \(\displaystyle \mathbb{R}^{n} \), chiameremo sottovarietà lineare passante per \(\displaystyle P \) e parallela al sottospazio direttore \(\displaystyle W \), il sottoinsieme \[\displaystyle \mathbb{L}=P + W=\{P + w \ | \ w \in W\} \]
e si dirà dimensione della sottovarietà lineare \(\displaystyle \mathbb{L} \) la dimensione del sottospazio \(\displaystyle W \).
Per prima cosa io ti inviterei a svincolarti un po' dall'intuito geometrico a cui spesso ci si aggancia per capire questi argomenti: può servire per dimensioni ridotte, ma non quando ci si trova a dover proiettare uno spazio \(\displaystyle n \)-dimensionale su di un punto.
Seconda cosa: la dimensione. Come da definizione, la dimensione di una sottovarietà lineare coincide con la dimensione del sottospazio direttore. Una sottovarietà lineare di dimensione \(\displaystyle 0 \) è un punto ( - il punto \(\displaystyle P \) della definizione a cui viene sommato un sottospazio nullo); una s.l. di dimensione \(\displaystyle 1 \) è una retta, di dimensione \(\displaystyle 2 \) un piano. In dimensioni più elevate (\(\displaystyle >3 \)) si parla di iperpiani.
Terza cosa: il perché. Lo spazio affine viene introdotto in primo luogo come struttura algebrica attraverso la quale si cercano di palesare le relazioni sussistenti tra punti e vettori, che spesso vengono considerati come entità interscambiabili. L'astrazione quivi necessaria faciliterà la definizione dello spazio euclideo, che si può considerare come una specie di caso particolare dello spazio affine.
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