Sottospazio di R3 e sua dimensione
Ciao ragazzi potreste aiutarmi con questo esercizio? Grazie per l'attenzione.
Dati 2 sottospazi di $R^3$
U :${ ( x+y+2z=0 ),( y-z=0 ):} $
V: $ { ( x+2y+z=0 ),( y-z=0 ):} $
determinare se
1)$dim(U+V)=2$
2)$dim(U cap V)=1$
3)dire se è vero che $ U cap V = {0} $
Risolvo in questo modo:
$( ( 1 , 1 , 2 ),( 0 , 1 , -1 ),( 1 , 2 , 1 ),( 0 , 1 , -1 ) )$
noto che la riga 4 è proporzionale alla riga 2 ed inoltre la riga 3 è combinazione lineare di riga 1 e riga 2 cioè riga 3 =riga 1 +riga 2 perciò concludo che $dim(U cap V)=1$ quindi la seconda è vera mentre la 3 è falsa dato che non ci sta solo il vettore nullo nell'intersezione tra U e V.
Grassman mi dice che $ dim(U+V) = dim(U) + dim (V) - dim(U cap V) $
$dim(U+V) = 2 + 2 - 1 = 3$
è corretto lo svolgimento?
Dati 2 sottospazi di $R^3$
U :${ ( x+y+2z=0 ),( y-z=0 ):} $
V: $ { ( x+2y+z=0 ),( y-z=0 ):} $
determinare se
1)$dim(U+V)=2$
2)$dim(U cap V)=1$
3)dire se è vero che $ U cap V = {0} $
Risolvo in questo modo:
$( ( 1 , 1 , 2 ),( 0 , 1 , -1 ),( 1 , 2 , 1 ),( 0 , 1 , -1 ) )$
noto che la riga 4 è proporzionale alla riga 2 ed inoltre la riga 3 è combinazione lineare di riga 1 e riga 2 cioè riga 3 =riga 1 +riga 2 perciò concludo che $dim(U cap V)=1$ quindi la seconda è vera mentre la 3 è falsa dato che non ci sta solo il vettore nullo nell'intersezione tra U e V.
Grassman mi dice che $ dim(U+V) = dim(U) + dim (V) - dim(U cap V) $
$dim(U+V) = 2 + 2 - 1 = 3$
è corretto lo svolgimento?
Risposte
I primi due punti sì. L'ultimo hai sbagliato con il calcolo della dimensione di \(\displaystyle U \) e \(\displaystyle V \), in quanto
\(\displaystyle dim(U)=dim(V)=1 \)
\(\displaystyle dim(U)=dim(V)=1 \)
ciao,
le dimensioni di U e V non sono corrette a mio avviso.
Una base di $U$ si ottiene determinando le soluzioni del sistema lineare:
$ { ( x= -3z ),( y=z ) ,(z=\xi):} $ , da cui: $ { ( x= -3\xi ),( y=\xi ) ,(z=\xi):} $ e una base di U è data per esempio da :
$<((-3),(1),(1))>$
Analogamente si prova per $V$.
Inoltre, quando i sottospazi sono definiti tramite equazioni cartesiane, è estremamente semplice ricavare una base dell'intersezione:
è sufficiente formare un sistema di equazioni dove inseriamo sia le equazioni che definiscono $V$, sia quelle di $V$.
Otteniamo: $ { ( x=-3z ),( y=\mu ),( z=\mu ):} $ e una base dell'intersezione è data ancora da $ ((-3),(1),(1)) $ e l'intersezione non è banale
Per trovare una base di $U+V$ possiamo procedere così:
trovata una base di $U$ e una di $V$, e consideriamo l'unione delle basi.
Ovviamente questo insieme è un insieme di generatori per la somma dei due sottospazi, e quindi, per determinarne la dimensione, si tratta estrarre una base da tale sistema di generatori e di calcolarne la cardinalità.
Per la formula di Grassmann:$dim(U+V)= dim(U)+dim(V)- dim(U\capV)$
$1=2-1$
le dimensioni di U e V non sono corrette a mio avviso.
Una base di $U$ si ottiene determinando le soluzioni del sistema lineare:
$ { ( x= -3z ),( y=z ) ,(z=\xi):} $ , da cui: $ { ( x= -3\xi ),( y=\xi ) ,(z=\xi):} $ e una base di U è data per esempio da :
$<((-3),(1),(1))>$
Analogamente si prova per $V$.
Inoltre, quando i sottospazi sono definiti tramite equazioni cartesiane, è estremamente semplice ricavare una base dell'intersezione:
è sufficiente formare un sistema di equazioni dove inseriamo sia le equazioni che definiscono $V$, sia quelle di $V$.
Otteniamo: $ { ( x=-3z ),( y=\mu ),( z=\mu ):} $ e una base dell'intersezione è data ancora da $ ((-3),(1),(1)) $ e l'intersezione non è banale
Per trovare una base di $U+V$ possiamo procedere così:
trovata una base di $U$ e una di $V$, e consideriamo l'unione delle basi.
Ovviamente questo insieme è un insieme di generatori per la somma dei due sottospazi, e quindi, per determinarne la dimensione, si tratta estrarre una base da tale sistema di generatori e di calcolarne la cardinalità.
Per la formula di Grassmann:$dim(U+V)= dim(U)+dim(V)- dim(U\capV)$
$1=2-1$
Grazie mille ragazzi!
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