Sottospazio di polinomio
Ciao a tutti, avrei bisogno di una mano per risolvere il seguente esercizio, sia:
Sia W {p(x) ∈ R3[x]|p(2) = 0} .
Utilizzando la definizione di sottospazio, si stabilisca se W `e
un sottospazio di R3[x] e in caso affermativo se ne determini la
dimensione.
Sapete spiegarmi il procedimento? Grazie in anticipo!
Sia W {p(x) ∈ R3[x]|p(2) = 0} .
Utilizzando la definizione di sottospazio, si stabilisca se W `e
un sottospazio di R3[x] e in caso affermativo se ne determini la
dimensione.
Sapete spiegarmi il procedimento? Grazie in anticipo!
Risposte
Il procedimento lo dovresti già conoscere. 
Ho delle incertezze, per essere un sottospazio deve contenere il vettore nullo, essere chiuso rispetto la somma ed essere chiuso rispetto il prodotto;
Il vettore nullo lo contiene per a=b=c=d=0, che verifica le condizioni dell'insieme, infatti:
0(-2)^3 + 0(-2)^2 + 0(-2) + 0 è uguale a zero,
E' giusto come ragionamento?
Il vettore nullo lo contiene per a=b=c=d=0, che verifica le condizioni dell'insieme, infatti:
0(-2)^3 + 0(-2)^2 + 0(-2) + 0 è uguale a zero,
E' giusto come ragionamento?
Perché hai considerato $x=-2$?
Ho sbagliato a scrivere, nelle condizioni dell'insieme deve valere che p(-2) >= 0
Dato l'insieme
Un generico vettore di $RR[x]_(<=3)$ è
Affinché $p(x) in W$
Considerato che le soluzioni di un sistema lineare omogeneo costituiscono un sottospazio, allora $W sub RR[x]_(<=3)$.
Inoltre hai $1$ equazione in $4$ incognite: grazie a Kronecker-Rouché-Capelli puoi sapere a priori quante soluzioni sono ammesse[nota]Pertanto, nel caso in cui non si trovino $4-1$ soluzioni significa che i calcoli sono sbagliati.[/nota]; ovvero può dedurre $dim(W)$ senza risolvere effettivamente l'equazione. 3
Les jeux sont faits!
$W= {p(x) ∈ RR[x]_(<=3) : qquad p(-2) = 0} $
Un generico vettore di $RR[x]_(<=3)$ è
$p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3, qquad a_i in RR$
Affinché $p(x) in W$
$p(-2)=a_0+a_1(-2)+a_2(-2)^2+a_3(-2)^3=0$
$ hArr qquad a_0-2 a_1+4a_2-8a_3=0, qquad a_i in RR$
$ hArr qquad a_0-2 a_1+4a_2-8a_3=0, qquad a_i in RR$
Considerato che le soluzioni di un sistema lineare omogeneo costituiscono un sottospazio, allora $W sub RR[x]_(<=3)$.
Inoltre hai $1$ equazione in $4$ incognite: grazie a Kronecker-Rouché-Capelli puoi sapere a priori quante soluzioni sono ammesse[nota]Pertanto, nel caso in cui non si trovino $4-1$ soluzioni significa che i calcoli sono sbagliati.[/nota]; ovvero può dedurre $dim(W)$ senza risolvere effettivamente l'equazione. 3
Les jeux sont faits!
Scusami ma ho sbagliato a scrivere all'inizio, le condizioni sono che:
P(-2) >= 0
P(-2) >= 0
"Djot":
le condizioni sono che:
$p(-2) >= 0$
Con questa condizione avresti dovuto essere in grado di risponderti da solo; semplifichiamo:
${(x,y) in RR^2 : qquad x+y>=0}$
può essere sottospazio secondo te?
Sinceramente è quello il mio problema non dovrei studiare i valori di x e y?
"Djot":
Sinceramente è quello il mio problema non dovrei studiare i valori di x e y?
Se hai tempo da perdere sì!
Piuttosto, quali sono le proprietà le condizioni affinché un sottoinsieme di uno spazio vettoriale possa definirsi sottospazio vettoriale?
Che contenga il vettore nullo e che sia chiuso rispetto la somma e il prodotto
"Djot":
che sia chiuso rispetto il prodotto
Cioè
$alpha (x+y) in W, qquad AA x,y in W, AA alpha in RR$
ti sembra fattibile la cosa?
No, perché non verifica sempre la condizione dell'insieme (x+y) >= 0
"Djot":
No, perché non verifica sempre la condizione dell'insieme (x+y) >= 0
Per confutare è sufficiente un controesempio: e. g. $alpha=-1$
Non riesco ancora a capire però lo svolgimento del precedente esercizio con p(-2) >= 0
Se $p(-2) in W$, allora anche $-p(-2)$ dovrebbe appartenere a $W$.
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