Sottospazio dei polinomi di ordine 3

[giuseppeferrara96]

Ciao a tutti, ho provato a risolvere un'esercizio, non so se l'ho fatto bene quindi perdonatemi se scriverò cazzate!
L'esercizio è il seguente:

Nello spazio vettoriale $ R_3[x] $ dei polinomi di grado al più 3, si stabilisca se il sottoinsieme

$ V: {f(x)= a_0 + a_1x +a_2x^2 +a_3x^3 in R_3[x] : f(0)=f'(0) } $ è o meno un sottospazio.

dove $ f' $ è il polinomio derivato di $ f $.

io ho pensato, se esplicitiamo la condizione $ f(0) = f'(0) $ ci viene una cosa del genere

$ a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 = a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 $

che sostituendo 0 al posto delle x resta solo $ a_0= a_1 $

a questo punto applicando le 3 condizioni perchè sia uno spazio vettoriale, cioè che contiene il vettore nullo,
e basta per dimostrarlo prendere $ a_0 = a_1 = 0 $
e che sia stabile rispetto alla somma, e lo è infatti
$ (a_0- a_1) + (a_0' - a_1')=a_0+a_0'-a_1-a_1'=(a_0+a_0')-(a_1+a_1') $
e che sia stabile rispetto al prodotto per uno scalare, infatti
$ t(a_0-a_1)=ta_0-ta_1 $

Posso concludere che è uno spazio vettoriale?

[killing_buddha]

Il sottospazio di $RR^4$ dei vettori $(v_0,v_1,v_2,v_3)$ tali che $v_0 - v_1=0$ è un sottospazio, sì.