Sottospazio dei polinomi di grado n

[staultz]

Avrei bisogno del vostro gentile aiuto ancora una volta.

credo di essermi perso in una definizione da cui però sul libro non esco non trovandola spiegata ma trovandomi nell' eserciziario un problemino su questo sottospazio.
Sostanzialmente in un esercizio si considera ${a_0+a_1x+a_2x^2|il coeff. di x^2=1}$
L'esercizio è molto lungo, però sebbene sui sottospazi di matrici inizi a destreggiarmi meglio, su quello dei polinomi credo sia il primo esercizio e non capisco già la verifica del vettore nullo.
Vedo da un esercizio simile svolto nel libro di esercizi che dice: non si tratta di sottospazio in quanto $O_R [X]=0+0x+0x^2$ non appartiene al sottospazio... ma non capisco, i coefficienti non dovrebbero essere le componenti del vettore? O almeno così avevo immaginato.
Quindi deduco da questo esercizio che se volessi scrivere un vettore di questo sottospazio secondo le componenti dovrei scrivere come coefficiente del coefficiente es: $2*a_0+3*a_1x+4*a_2x^2$ è il vettore di componenti $2,3,4$ su $a_0, a_1, a_2$?
Scusate le castronerie, ma sto cercando di capire

Facendo esercizi trovo molte cose che nella teoria non ho nemmeno trattato se non solo accennato emi trovo un po' perso ammetto.

-Grazie ancora-

[killing_buddha]

E' vero, quell'aggeggio non è un sottospazio vettoriale, e tuttavia è un sottospazio affine: è esattamente un piano in $\mathbb R^3$ parallelo agli assi $Y,Z$ e passante per $(1,0,0)$. E... uhm,

sebbene sui sottospazi di matrici inizi a destreggiarmi meglio, su quello dei polinomi credo sia il primo esercizio e non capisco già laverifica del vettore nullo.

i due tipi di esercizi sono la stessa cosa, cambiano solo i nomi

[staultz]

Grazie per avermi risposto così celermente.

Diciamo che non riesco bene a raccapezzarmi perché non riesco a capire il vettore (come entità) in questo caso cosa sia. Il vettore è il coefficiente delle x (gli $a_i$)? O è il valore che esce da $a_i*x^n$?
Così anche non comprendo bene come scrivere un vettore di questi spazi con le componenti rispetto una sua base, riassumendo il triplice dubbio:
-le componenti dovrei scrivere come coefficiente del coefficiente es: $2*a_0+3*a_1x+4*a_2x^2$
-oppure devo immaginare come se fosse il vettore fosse il valore numerico che esce da $a_i*x^n$ attribuendo alle x tutti i valori Reali possibili, e il vettore non è solo il coefficiente ma il valore e quindi avrei $2*(a_0)+3*(a_1x)+4*(a_2x^2)$
-oppure altra interpretazione ancora: i coefficienti $a_i$ sono i vettore..

Non reisco in sostanza a capire come interpretarlo