Sottospazio con parametro

[ennedes]

Salve a tutti. Non sono sicura della risoluzione di questo esercizio.
Dire per quali valori del parametro k è sottospazio il seguente sottoinsieme di $R^4$ e in tal caso determinare una base.

$ W={(x, y, z, w) : kx^2 + 2y - t = 0} $

Già vedendo $x^2$ potrei pensare che non lo sia. Nella dimostrazione ottengo che $(a^2 + alpha^2)$ è diverso da $(a + alpha)^2$ e che quindi non è chiuso rispetto al prodotto. La mia domanda è, ciò significa che non è sottospazio per nessun valore di k?

[billyballo2123]

Come hai giustamente notato, con $x^2$ non sarebbe un sottospazio. Quindi... poniamo $k=0$ così sparisce $x^2$

[ennedes]

Grazie mille! E la base la trovo scomponendolo?
y(2, 0) + t (0, -1) e quindi B={(2,0),(0,-1)}?

[billyballo2123]

Allora... innanzitutto siamo in $\mathbb{R}^4$ quindi i vettori hanno quattro coordinate. Poi non ho capito una cosa: fin dal primo messaggio $W$ è definito come $W=\{(x,y,z,w):kx^2+2y-t=0\}$. C'è qualcosa che non va: $t$ non compare nelle coordinate di $(x,y,z,w)$.

[ennedes]

No, non compare. Potrebbe essere una svista (?). Perchè se fosse un altro parametro credo che l'avrebbe precisato nella consegna.

[billyballo2123]

Sì deve essere una svista. A questo punto se non sappiamo cosa c'è al posto di $t$ si possono solo fare ipotesi sul risultato dell'esercizio.

[ennedes]

Quindi supponendo, ad esempio, che t=z, come trovo la base?

[billyballo2123]

in questo caso ponendo $k=0$ ottieni il sottospazio formato da un qualunque vettore $[x,y,z,w]$ con l'unica restrizione $2y-z=0$ (ovvero $z=2y$); ottieni così $[x,y,2y,w]$, vale a dire
\[
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
2y \\
w
\end{bmatrix}
=x
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
+y
\begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
2 \\
0
\end{bmatrix}
+w
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
1
\end{bmatrix}.
\]
Dunque una base del sottospazio è
\[
\left\{
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
2 \\
0
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
1
\end{bmatrix}
\right\}.
\]

[ennedes]

Tutto chiarissimo! Grazie mille, gentilissimo! E scusa il disturbo

[billyballo2123]

Figurati!