Sottospazio banale. Una domanda.
Un sottospazio composto dal solo vettore nullo, che dimensione ha? A me verrebbe da dire uno, poiché ogni elemento del sottospazio (quindi sempre il vettore nullo) è proporzionale al vettore nullo (io posso sempre scrivere $0 = \alpha 0$, con $0$ a indicare il vettore nullo).
La domanda mi sorge osservando il fatto che nella dimostrazione della formula di Grassmann fatta nel caso in cui l'intersezione tra due sottospazi $H, T$ di $V$ finitamente generabile si riduca al vettore nullo, il mio professore dice che "basta dimostrare che $dim H + dim T = dim H+T$". Chi mi aiuta?
La domanda mi sorge osservando il fatto che nella dimostrazione della formula di Grassmann fatta nel caso in cui l'intersezione tra due sottospazi $H, T$ di $V$ finitamente generabile si riduca al vettore nullo, il mio professore dice che "basta dimostrare che $dim H + dim T = dim H+T$". Chi mi aiuta?
Risposte
Beh veramente io sapevo che un sottospazio (ad esempio U) composto solo dal vettore nullo ha $DimU=0$ in quanto il vettore nullo implica che il sistema dei vettori di U è Lin.Dipendente, quindi il rango = 0 quindi Dim=0.
La dimensione di uno spazio vettoriale è, per definizione, la cardinalità di una sua base. E vabbé. Ma in concreto questo cosa significa? Significa il numero minimo di parametri necessari ad identificare in maniera univoca un suo vettore. E di quanti parametri hai bisogno per identificare in maniera univoca un solo vettore? Io direi di nessuno. E infatti $\langle0\rangle$ ha dimensione 0.
[edit] scrivevo contemporaneamente a Lorin.
[edit] scrivevo contemporaneamente a Lorin.
Puoi vederla sia come dico sia come dice dissonance....
Quindi un sistema che ha il vettore nullo essendo Dipedente non è una base, quindi Dim=0
Quindi un sistema che ha il vettore nullo essendo Dipedente non è una base, quindi Dim=0
Grazie, in effetti i sottospazi degeneri mi creano qualche difficoltà. Però converrete con me che questa definizione è ambigua, come del resto è ambigua quella secondo cui una matrice con tutti zero ha rango nullo. Comunque è chiara la spiegazione di dissonance.
Per Lorin: secondo me non ci si può basare sul rango perché non si fa altro che esporre lo stesso problema in maniera diversa. Supponi una matrice con tutti zero. Essa ha rango 0. Perché si dice che ha rango 0? Non so se "per definizione" o per cosa. In teoria, considerando una riga, supponi la prima, tutte dipenderebbero da essa. Quindi secondo me la definizione di dissonance è quella più esatta per il momento.
Anche se, però, scelto un sistema di riferimento (così mi ricollego allo spazio dei vettori applicati in un punto) ed un' origine, in "linea di principio" (assolutamente concetto non matematico) anche qui serve almeno un parametro per determinare la posizione di un punto. Al massimo si può considerare il punto come l'iperpiano di ogni iperpiano, e quindi di dimensione inferiore a quella di ogni iperpiano: in tal senso l'origine è un punto particolare dello spazio, anche se come vedi non riesco a dimostrarmelo con rigore.
Per Lorin: secondo me non ci si può basare sul rango perché non si fa altro che esporre lo stesso problema in maniera diversa. Supponi una matrice con tutti zero. Essa ha rango 0. Perché si dice che ha rango 0? Non so se "per definizione" o per cosa. In teoria, considerando una riga, supponi la prima, tutte dipenderebbero da essa. Quindi secondo me la definizione di dissonance è quella più esatta per il momento.
Anche se, però, scelto un sistema di riferimento (così mi ricollego allo spazio dei vettori applicati in un punto) ed un' origine, in "linea di principio" (assolutamente concetto non matematico) anche qui serve almeno un parametro per determinare la posizione di un punto. Al massimo si può considerare il punto come l'iperpiano di ogni iperpiano, e quindi di dimensione inferiore a quella di ogni iperpiano: in tal senso l'origine è un punto particolare dello spazio, anche se come vedi non riesco a dimostrarmelo con rigore.
"turtle87":
Anche se, però, scelto un sistema di riferimento (così mi ricollego allo spazio dei vettori applicati in un punto) ed un' origine, in "linea di principio" (assolutamente concetto non matematico) anche qui serve almeno un parametro per determinare la posizione di un punto.
E' un ragionamento corretto. Questa tua intuizione viene formalizzata con il concetto di spazio affine. Hai già incontrato questo tipo di spazio?
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