Sottospazio affine di $RR^n$ omeomorfismi
Sia $WsubeRR^n$ un sottospazio affine di dimensione $k$. Si dimostri che $W$ è omeomorfo a $RR^k$. Si dimostri che $RR^n\\W$ è omeomorfo a $S^(n−1−k)xxRR^(k+1)$.
Con una traslazione (che è un omeomorfismo), possiamo supporre che $W$ passi per l’origine e con un automorfismo lineare (ancora un omeomorfismo) possiamo supporre che le $k$ coordinate di $W$ siano le ultime $k$ in $RR^n$. Per cui $W$ è omeomorfo a $RR^k$. Ma allora $RR^n\\W$ è omeomorfo a $(RR^(n-k)\\{(0,...,0)})xxRR^k$. Ma $RR^(n-k)\\{(0,...,0)}$ è omeomorfo a $S^(n−1−k)$. Per cui $RR^n\\W$ è omeomorfo a $S^(n−1−k)xxRR^k$.
Con una traslazione (che è un omeomorfismo), possiamo supporre che $W$ passi per l’origine e con un automorfismo lineare (ancora un omeomorfismo) possiamo supporre che le $k$ coordinate di $W$ siano le ultime $k$ in $RR^n$. Per cui $W$ è omeomorfo a $RR^k$. Ma allora $RR^n\\W$ è omeomorfo a $(RR^(n-k)\\{(0,...,0)})xxRR^k$. Ma $RR^(n-k)\\{(0,...,0)}$ è omeomorfo a $S^(n−1−k)$. Per cui $RR^n\\W$ è omeomorfo a $S^(n−1−k)xxRR^k$.
Risposte
Mi manca il passaggio logico con cui affermi che \(\mathbb{R}^n\setminus W\) è omeomorfo a tutta la pappardella al séguito... 
"j18eos":
Mi manca il passaggio logico con cui affermi che \(\mathbb{R}^n\setminus W\) è omeomorfo a tutta la pappardella al séguito...
Ok faccio il passaggio: $(RR^(n-k)\\{(0,...,0)})xxRR^k=(RR^(n-k)xxRR^k)\\({(0,...,0)}xxRR^k)=RR^n\\({(0,...,0)}xxRR^k)$
Appena ho tempo scrivo la seocnda parte.
Sì, mi trovo su tutto!
Ti manca un $+1$ alla fine.
"otta96":
Ti manca un $+1$ alla fine.
Ah si grazie.
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