Sottospazi vettoriali e la loro intersezione

[kira36]

Posto un esercizio che non mi è molto chiaro:
Dati i due sottoinsiemi di R3:
W ={(x,y,z)|x+ay−z=1, x−z=0},
Z = {(x, y, z)|x = 1 + t − 2s, y = 1 + t − s, z = 2 + 2t − s}
a) Si dica se sono sottospazi vettoriali. Se uno o entrambi sono sottospazi, si dica qual’e’ la dimensione.
b) Si calcoli la loro intersezione e si dica di che sottoinsieme di R3 si tratta (punto, retta, piano etc).
Analizzando il primo sottoinsieme io direi che non è un sottospazio vettoriale dato che non esiste il vetro nullo ( 0, 0, 0 ).
Leggendo poi la domanda (b) come è possibile che mi venga chiesto di calcolare la loro intersezione se uno dei sottoinsiemi non è sottospazio vettoriale?
Mi viene dunque il dubbio che il sottoinsieme W sia in realtà un sottospazio vettoriale, allora non saprei come dimostrarlo e non saprei nemmeno come trovare la loro intersezione.
Qualcuno ha qualche idea in proposito?

[billyballo2123]

Come hai giustamente osservato tu, $W$ non è un sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}^3$! Tuttavia per $a\ne 0$ è una retta che non passa per l'origine (dunque è un sottospazio affine). $Z$ invece è un sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}^3$.
Penso che l'esercizio ti stia chiedendo di calcolare la loro intersezione come insiemi (o come spazi affini), non come spazi vettoriali.

[kira36]

E come posso calcolare la loro intersezione?
Inoltre avevo pensato che anche z non è un sottospazio vettoriale perché dalle condizioni che ho x e y hanno come minimo valore 1 per t e s uguali a zero, e z ha come minimo valore 2 per t e s uguali a zero. Tuttavia, per trovare l'intersezione di W e Z, ho provato innanzitutto a fare il passaggio dall'equazione parametrica a quella cartesiana ( del sottoinsieme Z) per poi mettere l'equazione trovata a sistema con le altre due del sottoinsieme W. Ma prima di poter fare questo ultimo passaggio ( sempre se giusto ) ho notato che l'equazione cartesiana mi descriveva effettivamente un sottospazio vettoriale, allora non ci ho capito più niente.
Quindi se mi potresti dire anche perché Z è un sottospazio mi sarebbe utile.

[billyballo2123]

Certo
$Z$ è un sottospazio vettoriale perché in forma parametrica si scrive
\[
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
2
\end{bmatrix}
+t
\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
2
\end{bmatrix}
+s
\begin{bmatrix}
-2 \\
-1 \\
-1
\end{bmatrix}
\]
(nota che se poni $s=0$ e $t=-1$ ottieni l'origine). In pratica è la stessa cosa che scrivere
\[
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
=
t
\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
2
\end{bmatrix}
+s
\begin{bmatrix}
-2 \\
-1 \\
-1
\end{bmatrix},
\]
infatti se consideri un sottospazio vettoriale e poi lo trasli di un vettore che appartiene al sottospazio stesso, ottieni ancora lo stesso insieme (e quindi lo stesso spazio vettoriale).

Per trovare l'intersezione ti basta prendere un generico punto di $Z$ e imporre a questo punto di rispettare le equazioni di $W$. Come abbiamo detto, un punto di $Z$ è della forma
\[
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
=
t
\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
2
\end{bmatrix}
+s
\begin{bmatrix}
-2 \\
-1 \\
-1
\end{bmatrix},
\]
dunque otteniamo
$ { ( (t-2s)+a(t-s)-(2t-s)=1 ),( (t-2s)-(2t-s)=0 ):} \rightarrow { ( a(t-s)=1 ),( s=-t ):} \rightarrow { ( t=1/{2a} ),( s=-1/{2a} ):} $
(ricordati che $a\ne 0$ altrimenti $W=\emptyset$). Dunque il punto d'intersezione è
\[
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
=
\frac{1}{2a}
\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
2
\end{bmatrix}
-\frac{1}{2a}
\begin{bmatrix}
-2 \\
-1 \\
-1
\end{bmatrix}
=
\frac{1}{2a}
\begin{bmatrix}
3 \\
2 \\
3
\end{bmatrix}.
\]

[kira36]

Va bene, tutto chiaro! grazie mille