Sottospazi vettoriali dimostrazione
$W$ è un sottospazio vettoriale di $R^x$ se:
$1)$ $W$ contiene il vettore nullo $0$ di $R^x$ e $0 in W$.
$2a)$ $AA(w1,w2) in W$, allora $w1+w2 in W$.
$2b)$ $AA(t) in R$, $AA(w) in R$ allora $t*w in W$
l'esercizio chiede di stabilire se $X1$ è un sottospazio vettoriale di $R^3$:
$X1={x=[[x1],[x2],[x3]] in R^3 : x1+(x2)^2-(x3)^2=0}$
ho fatto il punto $1)$ poichè il vettore nullo di $R^3$ è $x=[[0],[0],[0]]$ e sostituendo in $X1$ si ottiene $0=0$. Perciò $X1$ contiene il vettore nullo $0$ di $R^3$ e $0 in X1$.
invece per i punti $2a)$ e $2b)$ mi trovo più in diffcioltà perchè non ho mai incontrato esercizi simili a questo.
Qualcuno potrebbe darmi un mano su come procedere in modo tale da capire come stabilire se $X1$ è sottospazio vettoriale di $R^3$.
Grazie
$1)$ $W$ contiene il vettore nullo $0$ di $R^x$ e $0 in W$.
$2a)$ $AA(w1,w2) in W$, allora $w1+w2 in W$.
$2b)$ $AA(t) in R$, $AA(w) in R$ allora $t*w in W$
l'esercizio chiede di stabilire se $X1$ è un sottospazio vettoriale di $R^3$:
$X1={x=[[x1],[x2],[x3]] in R^3 : x1+(x2)^2-(x3)^2=0}$
ho fatto il punto $1)$ poichè il vettore nullo di $R^3$ è $x=[[0],[0],[0]]$ e sostituendo in $X1$ si ottiene $0=0$. Perciò $X1$ contiene il vettore nullo $0$ di $R^3$ e $0 in X1$.
invece per i punti $2a)$ e $2b)$ mi trovo più in diffcioltà perchè non ho mai incontrato esercizi simili a questo.
Qualcuno potrebbe darmi un mano su come procedere in modo tale da capire come stabilire se $X1$ è sottospazio vettoriale di $R^3$.
Grazie
Risposte
$v=[1,0,1] \in X_1$, aber $2 v \notin X_1$ poiché $2+0^2-2^2 \ne 0$, quindi non è chiuso rispetto alla moltiplicazione per uno scalare, dunque non è un sottospazio vettoriale
Quindi basta assegnare dei valori particolare?
Credevo andasse dimostrato sempre in "generale" senza assegnare valori particolare a $x$
Credevo andasse dimostrato sempre in "generale" senza assegnare valori particolare a $x$
Diciamo che la presenza di alcuni termini al quadrato fa sospettare che non sia uno spazio vettoriale. Allora uno cerca un (!) caso particolare in cui la definizione di spazio vettoriale fallisce. Ma è ovvio che se lo fosse stato questo metodo non dice nulla e va provato in totale generalità.
Come esercizio, mostra che $\tilde{X}=\{[x_1,x_2,x_3] \in RR^3: x_1-2x_2+x_3=0 \}$ è un sottospazio vettoriale di $RR^3$.
Come esercizio, mostra che $\tilde{X}=\{[x_1,x_2,x_3] \in RR^3: x_1-2x_2+x_3=0 \}$ è un sottospazio vettoriale di $RR^3$.
E' un poco ridondante il primo punto ed è scritto "male".
1) ${0}inW$
Vediamo come agisce la trasformazione.
Prendiamo due vettori ${T(v), T(w)}inW$
$T(v)=v_1+v_2^2-v_3^2$
$T(w)=w_1+w_2^2-w_3^2$
$T(v)+T(w)=(v_1+w_1)+(v_2^2+w_2^2)-(v_3^2+w_3^2)$
Mentre, $T(v+w)=(v_1+w_1)+(v_2+w_2)^2-(v_3+w_3)^2$
Quindi $T(v)+T(w)!=T(v+w)$ e in base alla 2a non è uno spazio vettoriale
1) ${0}inW$
Vediamo come agisce la trasformazione.
Prendiamo due vettori ${T(v), T(w)}inW$
$T(v)=v_1+v_2^2-v_3^2$
$T(w)=w_1+w_2^2-w_3^2$
$T(v)+T(w)=(v_1+w_1)+(v_2^2+w_2^2)-(v_3^2+w_3^2)$
Mentre, $T(v+w)=(v_1+w_1)+(v_2+w_2)^2-(v_3+w_3)^2$
Quindi $T(v)+T(w)!=T(v+w)$ e in base alla 2a non è uno spazio vettoriale
Vuole mostrare che la *somma* di due generici vettori in $X_1$ non è un elemento di $X_1$. Se non vuoi scrivere "trasformazioni", prendi $v$ e $w$, sommali per componenti e vedi se $(v+w)$ sta in $X_1$.
Prova a dimostrare che il mio $\tilde{X}$ che ho definito sopra è sottospazio vettoriale di $RR^3$, l'idea è la stessa e ti aiuta a prendere dimistichezza
Prova a dimostrare che il mio $\tilde{X}$ che ho definito sopra è sottospazio vettoriale di $RR^3$, l'idea è la stessa e ti aiuta a prendere dimistichezza
"feddy":
Vuole mostrare che la *somma* di due generici vettori in $X_1$ non è un elemento di $X_1$. Se non vuoi scrivere "trasformazioni", prendi $v$ e $w$, sommali per componenti e vedi se $(v+w)$ sta in $X_1$.
Prova a dimostrare che il mio $\tilde{X}$ che ho definito sopra è sottospazio vettoriale di $RR^3$, l'idea è la stessa e ti aiuta a prendere dimistichezza
Appena posso provo a risolverlo
Ho provato il tuo esercizio e ho capito il punto $2a)$...
Ma per il punto $2b)$ come dovrei procedere per dimostrarlo?
Grazie
Ma per il punto $2b)$ come dovrei procedere per dimostrarlo?
Grazie
Prendi due vettori che stanno in $\tilde{X}$. La loro somma fa $0$?
Ma non dovrei prendere un $t in R$ che moltiplica un vettore di $X1$?
Ah sì scusa pensavo all'ultima proprietà. Sì dovresti prenderlo.
"feddy":
An sì scusa pensavo all'ultima proprietà. Sì dovresti prenderlo.
Ma come faccio a dimostrarla? Non riesco
$t \in RR, v=[v_1,v_2,v_3] \in \tilde{X}$. Allora $t(v_1 -2v_2 +v_3)=t \cdot 0 =0$ Quindi $tv \in \tilde{X}$
Cavolo! Era semplice... mi sono perso in un bicchiere d'acqua.Grazie
Di nulla.
Per la terza proprietà, prendi $v, w \in \tilde{X}$. Dunque il vettore somma è $[v_1+w_1,v_2+w_2,v_3+v_3]$. Verifico che stia in $\tilde{X}$: $v_1+w_1-2*(v_2+w_2)+v_3+w_3=v1-2*v_2+v_3 + w_1 -2*w_2+w_3$ ma poichè $v$ e $w$ stanno in $\tilde{X}$, quella sommatoria è nulla. Dunque $\tilde{X}$ è sottospazio vettoriale di $RR^3$
Per la terza proprietà, prendi $v, w \in \tilde{X}$. Dunque il vettore somma è $[v_1+w_1,v_2+w_2,v_3+v_3]$. Verifico che stia in $\tilde{X}$: $v_1+w_1-2*(v_2+w_2)+v_3+w_3=v1-2*v_2+v_3 + w_1 -2*w_2+w_3$ ma poichè $v$ e $w$ stanno in $\tilde{X}$, quella sommatoria è nulla. Dunque $\tilde{X}$ è sottospazio vettoriale di $RR^3$
Grazie... era giusto lo stesso se io ho fatto che
$(v+w)(X1)$=$v(X1)+w(X1)$ e quindi $v+w in X1$
$(v+w)(X1)$=$v(X1)+w(X1)$ e quindi $v+w in X1$
Ma $X_1$ (ossia uqello di partenza) non soddisfa la chiusura per somma, se era questo che volevi mostrare
"feddy":
Ma $X_1$ (ossia uqello di partenza) non soddisfa la chiusura per somma, se era questo che volevi mostrare
Per $X1$ intendevo il tuo esempio scusa ho sbagliato la scrittura
Okay, però lo stesso non capisco la scrittura $v(X_1)$ onestamente. Ad ogni modo, il modo più "semplice" per mostrarlo è come ti ho fatto vedere, ossia usando la definizione
Perfetto... grazie mille
Di nulla! 
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