Sottospazi Vettoriali $CC$
Salve a tutti, ho dei dubbi riguardo un tipo di esercizio:
considerando due sottospazi di (es.) $RR$ : $U$ e $W$, determinare i sottospazi intersezione e somma. Niente di più facile, risolvo con successo la maggior parte di questi esercizi;
ma se mi imbatto nello stesso esercizio però non sui reali bensì sul campo dei complessi $CC$ come cambiano le cose?
l'esercizio in questione chiede di determinare i $CC$-sottospazi intersezione e somma, la loro dimensione ed una base, inoltre: dopo aver osservato che $U$ e $W$ sono altresì $RR$-sottospazi di $Mat_2 (CC)$, determinare gli $RR$-sottospazi intersezione e somma.
so che la dimensione in $CC$ è il doppio in $RR$ (parte reale ed immaginaria), ma non capisco come procedere, non ho mai lavorato sui complessi in geometria
spero in qualche suggerimento, Grazie!
considerando due sottospazi di (es.) $RR$ : $U$ e $W$, determinare i sottospazi intersezione e somma. Niente di più facile, risolvo con successo la maggior parte di questi esercizi;
ma se mi imbatto nello stesso esercizio però non sui reali bensì sul campo dei complessi $CC$ come cambiano le cose?
l'esercizio in questione chiede di determinare i $CC$-sottospazi intersezione e somma, la loro dimensione ed una base, inoltre: dopo aver osservato che $U$ e $W$ sono altresì $RR$-sottospazi di $Mat_2 (CC)$, determinare gli $RR$-sottospazi intersezione e somma.
so che la dimensione in $CC$ è il doppio in $RR$ (parte reale ed immaginaria), ma non capisco come procedere, non ho mai lavorato sui complessi in geometria
spero in qualche suggerimento, Grazie!
Risposte
Troppo generica come questione! 
Proponi un esempio concreto!
Proponi un esempio concreto!
si considerino i seguenti $CC$-sottospazi di $Mat_2 (CC):
$U={A in Mat_2 (CC) | AJ = JA, J = ( ( 1+i , 0 ),( 0 , 1-i ) ) }$
$W={A in Mat_2 (CC) | AX = ^t XA, X = ( ( 0 , i ),(-i , 0 ) ) }$
il problema è che non ho mai incontrato un esercizio del genere
l'unica matrice A che mi viene in mente che soddisfa le condizioni di $U$ e $W$ è quella identità $I_2$
quindi avrò (credo):
$U={( ( 1+i , 0 ),( 0 , 1-i ) ) | i in CC}$
$W={( ( 0 , i ),(-i , 0 ) ) | i in CC}$
entrambi di dimensione 1.
per trovare una base di entrambi come devo considerare $i$?
procedendo con l'intersezione:
$ ( ( a , b ),( c , d ) ) in U nn W ->$ la condizione per appartenere a $W$è che $b=-c$, ma non riesco a ricavare la condizione di $U$
...
PS:scusa il ritardo
$U={A in Mat_2 (CC) | AJ = JA, J = ( ( 1+i , 0 ),( 0 , 1-i ) ) }$
$W={A in Mat_2 (CC) | AX = ^t XA, X = ( ( 0 , i ),(-i , 0 ) ) }$
il problema è che non ho mai incontrato un esercizio del genere
l'unica matrice A che mi viene in mente che soddisfa le condizioni di $U$ e $W$ è quella identità $I_2$
quindi avrò (credo):
$U={( ( 1+i , 0 ),( 0 , 1-i ) ) | i in CC}$
$W={( ( 0 , i ),(-i , 0 ) ) | i in CC}$
entrambi di dimensione 1.
per trovare una base di entrambi come devo considerare $i$?
procedendo con l'intersezione:
$ ( ( a , b ),( c , d ) ) in U nn W ->$ la condizione per appartenere a $W$è che $b=-c$, ma non riesco a ricavare la condizione di $U$
...
PS:scusa il ritardo
Mamma mia. 
L'unica cosa certa è che [tex]$I_2^2\in U$[/tex] (matrice identità) mentre in [tex]$W$[/tex] non ci và!
Per sbrogliare [tex]$U$[/tex] cercherei di risolvere l'equazione matriciale [tex]$AJ=JA$[/tex], mentre per sbrogliare [tex]$U$[/tex] cercherei di risolvere l'equazione matriciale [tex]$AX=X^tA$[/tex]; ove porrei [tex]$A=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}\in\mathbb{C}_2^2$[/tex]!
Dovresti ottenere dei sistemi di equazioni "umanamente gestibili". Fammi sapere quando vorrai, mica abbiamo degli orari di ricevimento.
L'unica cosa certa è che [tex]$I_2^2\in U$[/tex] (matrice identità) mentre in [tex]$W$[/tex] non ci và!
Per sbrogliare [tex]$U$[/tex] cercherei di risolvere l'equazione matriciale [tex]$AJ=JA$[/tex], mentre per sbrogliare [tex]$U$[/tex] cercherei di risolvere l'equazione matriciale [tex]$AX=X^tA$[/tex]; ove porrei [tex]$A=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}\in\mathbb{C}_2^2$[/tex]!
Dovresti ottenere dei sistemi di equazioni "umanamente gestibili". Fammi sapere quando vorrai, mica abbiamo degli orari di ricevimento.
"j18eos":la mia stessa reazione!
Mamma mia.
ho dei problemi a risolvere l'equazione $AJ=JA$, perchè con $A=I_2$ ottengo $J=J$
(non ho mai avuto a che fare con equazioni matriciali del genere, le uniche che ho trattato sono quelle riguardanti i sistemi lineari)
per il momento ho deciso di esercitarmi su altri esercizi in quanto tento l'esame di giovedì, spero solo che non mi escano i numeri complessi, proverò a risolverlo successivamente.
grazie per l'aiuto
Prego; comunque avresti dovuto fare il prodotto righe per colonne tra tali matrici... ma lasciamo stare!
Auguri per l'esame.
Auguri per l'esame.
"j18eos":
Prego; comunque avresti dovuto fare il prodotto righe per colonne tra tali matrici... ma lasciamo stare!
Auguri per l'esame.
Grazie per gli auguri
comunque l'avevo fatto il prodotto righe per colonne ed ho ottenuto $AJ=J$ e $JA=J$ perchè A è la matrice identità quindi ottengo $J=J$
potrei scrivere $U={ ( ( a , b ),( c , d ) ) in CC | a = 1+i, b=c=0, d=1-i}$ [$->$dim= 2]
che ne pensi?
Mi stai dicendo che l'unica matrice che soddisfi quell'equazione matriciale è la matrice identità? 
E la matrice nulla allora?!
E la matrice nulla allora?!
Una collega mi ha dato un esercizio risolto ed ora è tutto chiaro !
Ciao
!Ciao
Meglio così; mi ha risparmiato la fatica di postare tutta la risoluzione. 
Ancora buon esame. Alla prossima!
Ancora buon esame. Alla prossima!
"j18eos":
...Ancora buon esame. Alla prossima!
ti ringrazio, l'esame era giovedì 2, l'ho cominciato ma poi ho avuto problemi di salute ed ho lasciato perdere
proverò al prossimo appello.Avrei un ultimo problema riguardo alla diagonalizzazione, se vuoi dare un'occhiata ho creato un Thread.
grazie per tutto l'aiuto, Ciao
PS: Grazie, ho dimenticato che non si deve fare
Prego, di nulla.
Attenzione a non violare il regolamento.
Attenzione a non violare il regolamento.
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