Sottospazi vettoriali
Nello spazio vettoriale euclideo R4 si considerino i seguenti sottospazi:
A = {(x1,x2,x3,x4) : x1 + x2 + x3 = 0};
B =< (1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,−1,0,2) > .
-Determinare una base per gli spazi A + B, A∩B e B⊥.
-Determinare una base ortogonale per B
ragazzi non riesco a svolgere questo esercizio potreste aiutarmi?
A = {(x1,x2,x3,x4) : x1 + x2 + x3 = 0};
B =< (1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,−1,0,2) > .
-Determinare una base per gli spazi A + B, A∩B e B⊥.
-Determinare una base ortogonale per B
ragazzi non riesco a svolgere questo esercizio potreste aiutarmi?
Risposte
Un tuo tentativo di risoluzione? O non sai proprio come fare?
Premetto che ho le idee molto confuse a riguardo..
Anzitutto ho estratto una base di A (mi viene A': {(-1,1,0,0),(-1,0,1,0),(0,0,0,1) ed essendo in B tutti vettori indipendenti ho considerato A+B (composto da i vettori delle basi di A e B) la matrice ha rango 4 ed ho estratto una base di A+B..
Adesso per quanto riguarda l'intersezione con la formula di grassmann posso sapere che la dim(A∩B)=2. Per calcolare l'intersezione avevo pensato di esprimere un generico v come combinazione lineare di A' e B ed uguagliarli..dopo di che non riesco a continuare.
Per quanto riguarda la base ortogonale di B andiamo ad utilizzare Gram-Schmidt giusto? Mentre per il complemento di B andiamo a considerare un generico (a,b,c,d) t.c (a,b,c,d) scalare v (vettori della base B) sia uguale a 0?
Anzitutto ho estratto una base di A (mi viene A': {(-1,1,0,0),(-1,0,1,0),(0,0,0,1) ed essendo in B tutti vettori indipendenti ho considerato A+B (composto da i vettori delle basi di A e B) la matrice ha rango 4 ed ho estratto una base di A+B..
Adesso per quanto riguarda l'intersezione con la formula di grassmann posso sapere che la dim(A∩B)=2. Per calcolare l'intersezione avevo pensato di esprimere un generico v come combinazione lineare di A' e B ed uguagliarli..dopo di che non riesco a continuare.
Per quanto riguarda la base ortogonale di B andiamo ad utilizzare Gram-Schmidt giusto? Mentre per il complemento di B andiamo a considerare un generico (a,b,c,d) t.c (a,b,c,d) scalare v (vettori della base B) sia uguale a 0?
Per la base ortogonale non ti so aiutare, ma perla prima parte si.
Innanzitutto per far si che si capisca meglio il testo metti il simbolo del dollaro ad inizio e fine "formule" .
La base di A l'hai estratta correttamente. Non ho fatto i calcoli però suppongo che hai visto che i vettori di B siano linearmente indipendenti dal rango della matrice avente come vettori colonna i vettori di B, se la matrice ha rango massimo allora sono linearmente indipendenti. Per $A+B$ , hai costruito una matrice avente come vettori colonna tutti questi vettori di A e B.ì, ed hai verificato il rango, che hai detto che è 4 ed anche qui è giusto. Però ricorda quando estrai la base, la base deve corrispondere ai vettori colonna del minore da cui deriva il rango.
Per quanto riguarda l'intersezione non ho capito come hai fatto. Io farei così.
Considerando che devo trovare l'intersezione devi costruire il sistema in base a quest'uguaglianza:
$\alpha(-1,1,00)+ \beta(-1,0,+1,0)+\gamma(0,0,0,1)=\delta(1,1,1,0)+ \lambda(1,1,0,0)+\eta(1,−1,0,2)$
Da qui poi costruisci il sistema, trovando le relazioni. Vedi da quanti parametri o meno dipende il sistema e da lì concludi individuando il vettore generico dell'intersezione. Non so se sono stata chiara
Innanzitutto per far si che si capisca meglio il testo metti il simbolo del dollaro ad inizio e fine "formule" .
La base di A l'hai estratta correttamente. Non ho fatto i calcoli però suppongo che hai visto che i vettori di B siano linearmente indipendenti dal rango della matrice avente come vettori colonna i vettori di B, se la matrice ha rango massimo allora sono linearmente indipendenti. Per $A+B$ , hai costruito una matrice avente come vettori colonna tutti questi vettori di A e B.ì, ed hai verificato il rango, che hai detto che è 4 ed anche qui è giusto. Però ricorda quando estrai la base, la base deve corrispondere ai vettori colonna del minore da cui deriva il rango.
Per quanto riguarda l'intersezione non ho capito come hai fatto. Io farei così.
Considerando che devo trovare l'intersezione devi costruire il sistema in base a quest'uguaglianza:
$\alpha(-1,1,00)+ \beta(-1,0,+1,0)+\gamma(0,0,0,1)=\delta(1,1,1,0)+ \lambda(1,1,0,0)+\eta(1,−1,0,2)$
Da qui poi costruisci il sistema, trovando le relazioni. Vedi da quanti parametri o meno dipende il sistema e da lì concludi individuando il vettore generico dell'intersezione. Non so se sono stata chiara
$ \alpha(-1,1,00)+ \beta(-1,0,+1,0)+\gamma(0,0,0,1)=\delta(1,1,1,0)+ \lambda(1,1,0,0)+\eta(1,−1,0,2) $
Si per l'intersezione intendevo quello che hai fatto anche tu, non ho capito però come trovare la base dell'intersezione dopo aver risolto il sistema
edit: Risolto, bastava poi andare a sostituire le soluzioni in uno dei due vettori generici. Grazie mille
Si per l'intersezione intendevo quello che hai fatto anche tu, non ho capito però come trovare la base dell'intersezione dopo aver risolto il sistema
edit: Risolto, bastava poi andare a sostituire le soluzioni in uno dei due vettori generici. Grazie mille
per la parte sull'ortogonalità...
giusto: trovata una base di B la ortogonalizzi con Gram-Schmidt.
esatto anche questo. devi risolvere $(a,b,c,d) * v_i=0$ con $v_i$ vettori della base di B.
"MagE71":
Per quanto riguarda la base ortogonale di B andiamo ad utilizzare Gram-Schmidt giusto?
giusto: trovata una base di B la ortogonalizzi con Gram-Schmidt.
"MagE71":
Mentre per il complemento di B andiamo a considerare un generico (a,b,c,d) t.c (a,b,c,d) scalare v (vettori della base B) sia uguale a 0?
esatto anche questo. devi risolvere $(a,b,c,d) * v_i=0$ con $v_i$ vettori della base di B.
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