Sottospazi vettoriali

[pietro1231]

I sottospazi $U={((x),(y),(z))\in \mathbb{R}^3:x-5z=0 }$ e $W=Span(3t+1,6+t,5t-2)\subseteq \mathbb{R}_3[t]$ hanno la stessa dimensione?

Come procedo?
Come vedo i due sottospazi in modo da verificare se le dimensioni sono uguali?
La dimensione la verifico attraverso il rango, ma non so proprio come vedere questi due sottospazi in modo da calcolarlo...

[cooper1]

come hai giustamente pensato di fare il modo migliore per capire se hanno la stessa dimensione è quello di calcolare le due dimensioni.
nel primo caso basta estrarre una base dal sistema omogeneo che descrive il sottospazio, dove per farlo assegni a due delle tue variabili il ruolo di parametro e poi ne estrai la base. oppure basta che vedi l'equazione come una matrice $A=(1,0,-5)$ che ha rango 1. quindi la dimensione è $n-Rg(A)$, dove $n$ è il numero di incognite.
per il secondo puoi usare l'isomorfismo tra $R_n[t]$ e $R^n$ ed estrai una base da un sistema di generatori.

[pietro1231]

"cooper":come hai giustamente pensato di fare il modo migliore per capire se hanno la stessa dimensione è quello di calcolare le due dimensioni.
nel primo caso basta estrarre una base dal sistema omogeneo che descrive il sottospazio, dove per farlo assegni a due delle tue variabili il ruolo di parametro e poi ne estrai la base. oppure basta che vedi l'equazione come una matrice $A=(1,0,-5)$ che ha rango 1. quindi la dimensione è $n-Rg(A)$, dove $n$ è il numero di incognite.
per il secondo puoi usare l'isomorfismo tra $R_n[t]$ e $R^n$ ed estrai una base da un sistema di generatori.

Grazie mille
Per quanto riguarda il primo sottospazio $U$ è una cosa che avevo pensato di metterlo in forma matriciale e calcolo il rango $Rg(U)=1$, e infatti è immediata la cosa, come hai potuto scrivere
Invece per quanto riguarda il secondo, applicando l'isomorfismo, il sottospazio vettoriale $W$ diventerebbe?
$W=((0,0,0),(3,1,5),(1,6,-2))$?
$W={((t^2),(t),(1))\in R^3:(3t+1,6+t,5t-2)}$
E quindi il rango, da come si può subito vedere, è 2, $Rg(W)=2$

Traendo le conclusioni posso dire che, per quanto riguarda il primo sottospazio vettoriale ha dimensione $dim(V)=n-Rg(V)=3-1=2$
Per il secondo: $dim(W)=n-Rg(W)=3-2=1$.
Quindi le dimensioni non sono uguali.

Provo una certa difficoltà nell'isomorfismo e spero di averlo azzeccato questa volta

[cooper1]

l'isomorfismo associa al polinomio di grado 3 $ at^3+bt^2+ct+d $ il vettore $ (a,b,c,d) $ per cui per esempio hai che:
$ 3t+1 -> (0,0,3,1) $
sapresti continuare?

[pietro1231]

"cooper":l'isomorfismo associa al polinomio di grado 3 $ at^3+bt^2+ct+d $ il vettore $ (a,b,c,d) $ per cui per esempio hai che:
$ 3t+1 -> (0,0,3,1) $
sapresti continuare?

Applicando l'isomorfismo avremo:

$ 3t+1 -> (0,0,3,1) $
$ 6+t -> (0,0,1,6)$
$ 5t-2 -> (0,0,5,-2)$
Che riportandoli in forma matriciale avremo la matrice 3x4:
$W=((0,0,0),(0,0,0),(3,1,5),(1,6,-2))$ che ha rango $2$ $Rg(W)=2$
Quindi ha dimensione $dim(W)=n-Rg(W)=4-2=2$
Quindi hanno stessa diemnsione giusto?

[cooper1]