Sottospazi vettoriali

[fede0033]

Ragazzi potete aiutarmi a capire quale fra questi sono sottospazi vettoriali di R(T) minore uguale a 2?

W = ( f(T) di R(T) minore uguale a 2 : f(2) - f(3) + f(4) = 0 )
" " " " : f(2( - f(3) + f(4) = 1
: f(1)^2 - f(2)^2 = 0
: f(1) è un numero razionale
Grazie a chi mi aiuterà

[Magma1]

"fede.991":Ragazzi potete aiutarmi a capire quale fra questi sono sottospazi vettoriali di $mathbb (R)(T)_(<=2)$?

$W ={ f(T) in mathbb (R)(T)_(<=2) : f(2) - f(3) + f(4) = 0 }$

Prima di tutto, per risolvere questi esercizi, devi avere già un idea se l'insieme sia o meno un sottospazio: se lo è, lo dimostri con la teoria, altrimenti, se non lo è, basta trovare una condizione che non sia rispettata.
In questo caso $W$ è sottospazio, per cui:

$W ne O/ $, infatti $0 in W$

-----

$f, g in in mathbb (R)(T)_(<=2) hArr (f-g)(2)-(f-g)(3)+(f-g)(4)=0$

i.e.

$f(2)-f(3)+f(4)-g(2)+g(3)-g(4)=0 hArr [f(2)-f(3)+f(4)]-[g(2)-g(3)+g(4)]=0$

e ciò è vero e perché

$f(2)-f(3)+f(4)=0$ e $g(2)-g(3)+g(4)=0$ poiché appartengono a $W$;

quindi $f-g=0$ (i.e. l'insieme è chiuso rispetto alla sottrazione).

-----

$alpha in R, f in W rArr (alpha f) in W$

$f(alpha 2)-f(alpha 3) + f(alpha 4)=alphaf(2)-alphaf(3)+alphaf(4)=alpha(f(2)-f(3)+f(4))=alpha*0=0$.

"fede.991":$W ={ f(T) in mathbb (R)(T)_(<=2) :f(2)- f(3) + f(4) = 1}$

Questo non è un sottospazio in quando $0$ non appartiene a $W$.

"fede.991":$W ={ f(T) in mathbb (R)(T)_(<=2) :f(1)^2 - f(2)^2 = 0}$

$f(1)^2 - f(2)^2 =[f(1)-f(2)][f(1)+f(2)]=0 hArr f(1)=f(2)$ oppure $f(1)=-f(2) $

L'ultima condizione equivale ad un'unione insiemistica, ma l'unione in generale non è mai sottospazio[nota]L'unione è sottospazio solo nei casi banali $U uu W hArr U sube W$ oppure $W sube U$[/nota]

"fede.991":$W ={ f(T) in mathbb (R)(T)_(<=2) :f(1) \text{ è un numero razionale}}$

Considera $pi in mathbb (R)$, hai che $(pi * f(1))$ non appartiene a $W$.