Sottospazi vettoriali

[EveyH]

Ciao,
considerato lo spazio vettoriale dei polinomi $RR^3[t]$ ed il sottoinsieme $W={p in RR^3[t] | p(1)=0; p(5)=0}$ dire se W è sottospazio di $RR^3[t]$ ed in caso affermativo calcolarne la dimensione.

Ora, so che questo sottospazio è quello dei polinomi del tipo $a + bt + ct^2 + dt^3=0$ se $t=1$ e se $t=5$.
Cioè:
$a+5b+25c+125t=0$
e
$a+b+c+d=0$
Non so proseguire...mi aiutate? Grazie.

[quantunquemente]

se $p_1$ e $p_2$ appartengono a $W$, sono del tipo $f(t)(t-1)(t-5)$ con $f(t)$ polinomio di grado non superiore ad $1$

[EveyH]

Perdonami ma non capisco quanto prima.

[quantunquemente]

visto che i polinomi sono di quel tipo,è ovvio che anche una loro combinazione lineare è di quel tipo
quindi $W$ è un sottospazio vettoriale ed i polinomi $(t-1)(t-5)$ e $t(t-1)(t-5)$ costituiscono una sua base

[EveyH]

Per trovare che il polinomio è del tipo $(t-1)(t-5)$ come hai fatto?

[quantunquemente]

algebra delle scuole superiori
se un polinomio $P(x)$ si annulla in $a$ allora esso è divisibile per $x-a$

[EveyH]

Beato chi se le ricorda tutte queste cose delle superiori
Volendo fare la dimostrazione algebrica classica, come dovrei procedere?
Grazie

[quantunquemente]

vuoi la dimostrazione ?
beh,supponi di dividere $P(x)$ per $(x-a)$
allora,esisterà u numero $R$ ed un polinomio $q(x)$ tale che $P(x)=q(x)(x-a)+R$
se per ipotesi $P(a)=0$,si ha $0=q(a)cdot 0+R$,cioè $R=0$ e quindi $P(x)$ è divisibile per $x-a$

[EveyH]

Intendevo la dimostrazione che quello sia davvero un sottospazio vettoriale

Grazie