Sottospazi vettoriali

[_Daniele_]

Ciao ragazzi, sto riscontrando dei problemi nel fare questo esercizio:

Spiegare se i seguenti sono sottospazi di $ R^2 $ :
-tutti i vettori aventi prima coordinata uguale a 1
-tutti i vettori aventi prima coordinata non negativa
-tutti i vettori a coordinate intere

Devo applicare la definizione di chiusura per linearità?

[garnak.olegovitc1]

@JustDani95,
i tuoi sottoinsiemi sono rispettivamente:

- \(\{(1,x) \in \Bbb{R}^2|x \in \Bbb{R}\}\)
- \(\{(x,y)\in \Bbb{R}^2|x \geq 0 \}\)
- \(\{(x,y)\in \Bbb{R}^2| x,y \in \Bbb{Z}\}\)

?? se si, ti basta verificare le condizioni di sottospazio vettoriale, prova con almeno un tuo tentativo!!

[_Daniele_]

1. tutti i vettori aventi prima coordinata uguale a 1.
Per essere un sottospazio è necessario che contenga il vettore nullo =(0,0)
I vettori di V sono del tipo (1,y), quindi V non è un sottospazio di IR²

2. tutti i vettori aventi prima coordinata non negativa.
Neppure questo è un sottospazio di IR², infatti il generico sottospazio deve essere chiuso rispetto al prodotto per un generico scalare IR.
Consideriamo un vettore di V, esempio (1,1)∈V e lo scalare -1∈IR
moltiplicandoli tra loro
-1(1,1)=(-1,-1)∉V quindi non è chiuso rispetto al prodotto scalare.

3. tutti i vettori a coordinate intere.
Neppure questo. Vale il discorso di prima ma questa volta prendiamo come scalare π∈IR.
π(1,1)=(π,π)∉V
quindi non è chiuso rispetto al prodotto per uno scalare.

Giusto?