Sottospazi Vettoriali
ragazzi, qualcuno mi può aiutare a risolvere il primo problema punto di questo pdf? per piacere è urgente
https://www.docenti.unina.it/downloadPu ... &id=402042
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Risposte
@Bisteccone, urgente o meno dovresti almeno proporre un tuo tentativo, calcola la dimensione dei due sottospazi (una sarà al variare di \(l\)) e usando la relazione di Grassman hai risolto (mi riferisco al punto (i) )..
ok, per trovare la dimensione di H e K ho calcolato il loro rango, solo che ora non ho idea di come fare per la dimensione dell'intersezione
grazie per l'aiuto...
beh,ad esempio per $l=-1$ è facile vedere che nessuno dei 2 generatori del secondo sottospazio dipende linearmente dai generatori del primo(può aiutare scrivere ogni matrice come se fosse un vettore di $mathbbR^4$)
quindi,in questo caso la somma dei 2 sottospazi è diretta
provare a ragionare analogamente per $l ne -1$
quindi,in questo caso la somma dei 2 sottospazi è diretta
provare a ragionare analogamente per $l ne -1$
scusa, questo è un concetto che non ho capito bene, come faccio ad essere sicuro dell'indipendenza lineare?
ok, forse ho capito il concetto, confermamelo:
facendo H+K la massima dimensione che può avere questa somma è 4, perchè uscirà una matrice 4x5. Per essere diretta la somma abbiamo bisogno che dim(H)+dim(K)=4 e questo avviene solo nel caso in cui l=-1 perchè in questo caso abbiamo che dim(H)=2 ed essendo anche dim(K)=2 la somma si strova. Se prendiamo un qualsiasi valore diverso da -1 allora dim(H)=3 e quandi la dimensione dell'intersezione sarà necessariamente 1, giusto?
facendo H+K la massima dimensione che può avere questa somma è 4, perchè uscirà una matrice 4x5. Per essere diretta la somma abbiamo bisogno che dim(H)+dim(K)=4 e questo avviene solo nel caso in cui l=-1 perchè in questo caso abbiamo che dim(H)=2 ed essendo anche dim(K)=2 la somma si strova. Se prendiamo un qualsiasi valore diverso da -1 allora dim(H)=3 e quandi la dimensione dell'intersezione sarà necessariamente 1, giusto?
premetto che mi sono interessato soltanto del caso $l=-1$
non è esatto quello che dici : il fatto che $dimL=dimK=2$ in generale non implicherebbe che $dim(L+K)=4$
la dimensione è $4$ per il motivo che ho già esposto : nessuno dei due generatori del 2°sottospazio fa parte del 1°sottospazio
l'ho dimostrato in questo modo : identificando 2 generatori del 1°sottospazio e i 2 generatori del 2° sottospazio con i vettori$v_1=(1,1,1,1);v_2=(1,0,-1,2);v_3=(1,1,-1,2);v_4=(0,0,0,-1)$,
le matrici che hanno rispettivamente come righe $v_1,v_2,v_3$ e $v_1,v_2,v_4$ hanno entrambe rango $3$
non è esatto quello che dici : il fatto che $dimL=dimK=2$ in generale non implicherebbe che $dim(L+K)=4$
la dimensione è $4$ per il motivo che ho già esposto : nessuno dei due generatori del 2°sottospazio fa parte del 1°sottospazio
l'ho dimostrato in questo modo : identificando 2 generatori del 1°sottospazio e i 2 generatori del 2° sottospazio con i vettori$v_1=(1,1,1,1);v_2=(1,0,-1,2);v_3=(1,1,-1,2);v_4=(0,0,0,-1)$,
le matrici che hanno rispettivamente come righe $v_1,v_2,v_3$ e $v_1,v_2,v_4$ hanno entrambe rango $3$
si, che stronzata che ho detto, è ovvio che bisogna prima verificare che la dimensione sia 4; per l'intersezione invece ho fatto così:
chiamando i vettori v=(1,1,1,1) w=(0,1,2,l) x=(1,0,-1,2) y=(1,1,-1,2) z=(0,0,0,-1) ho che la base u mi è data da
u=a*v+b*w+c*x=d*y+e*z quindi
$\{(a+c=d),(a+b=d),(a+2b-c=-d),(a+l*b+2c=2d-e):}$
quindi b=c siccome poi a=-b+d e a=-b-d allora b=0 e quindi a=-b ed e=-(l+1)b
quindi se metto a=1 ho b=c=-1 ed andando a sostituire in u=a*v+b*w+c*x ottengo la base u=(0,0,0,-1-l), è giusto il procedimento? penso di si perchè è l'unico risultato che con l=-1 mi da base nulla e quindi dimensione dell'intersezione uguale a 0 come detto prima
chiamando i vettori v=(1,1,1,1) w=(0,1,2,l) x=(1,0,-1,2) y=(1,1,-1,2) z=(0,0,0,-1) ho che la base u mi è data da
u=a*v+b*w+c*x=d*y+e*z quindi
$\{(a+c=d),(a+b=d),(a+2b-c=-d),(a+l*b+2c=2d-e):}$
quindi b=c siccome poi a=-b+d e a=-b-d allora b=0 e quindi a=-b ed e=-(l+1)b
quindi se metto a=1 ho b=c=-1 ed andando a sostituire in u=a*v+b*w+c*x ottengo la base u=(0,0,0,-1-l), è giusto il procedimento? penso di si perchè è l'unico risultato che con l=-1 mi da base nulla e quindi dimensione dell'intersezione uguale a 0 come detto prima
un'altra cosa, in questo compito https://www.docenti.unina.it/downloadPub.do?tipoFile=md&id=403661 nel primo esercizio devo trovare base e dimensione in funzione di l. dimmi se il ragionamento va bene:
essendo una matrice 3x4 la dimensione può essere massimo 3. so che il rango è uguale alla dimensione, quindi prendo le due sottomatrici 3x3. mi viene che in una il rango è 3 per h $!=$3/2 e nell'altra il rango è 3 per h $!=$0. quindi di conseguenza la diemnsione è 3 per ogni l?
essendo una matrice 3x4 la dimensione può essere massimo 3. so che il rango è uguale alla dimensione, quindi prendo le due sottomatrici 3x3. mi viene che in una il rango è 3 per h $!=$3/2 e nell'altra il rango è 3 per h $!=$0. quindi di conseguenza la diemnsione è 3 per ogni l?
inoltre nel secondo punto del primo problema per trovare l tale che il nuovo vettore appartenga al sottospazio ho fatto:
v=(0,1-l,-2,-l) w=(1,-1-0,-1) x=(l,-1,-2,0) e chiamo il nuovo vettore u=(2,3,-4,1) e dico che
u=a*v+b*w+c*x
perciò
$\{(2=a+l*c),(3=(1-l)*a-b-c),(-4=-2a-2c),(1=-l*a-b):}$
facendo cramer mi esce che a=2 e c=0 ma poi non riesco a continuare, mi si annulla tutto, vuol dire che u appartiene al sottospazio per ogni l?
inoltre non riesco a capire poi che vuol dire trovare le componenti di questo nuovo vettore rispetto alla base trovata prima (la seconda domanda del secondo punto)
v=(0,1-l,-2,-l) w=(1,-1-0,-1) x=(l,-1,-2,0) e chiamo il nuovo vettore u=(2,3,-4,1) e dico che
u=a*v+b*w+c*x
perciò
$\{(2=a+l*c),(3=(1-l)*a-b-c),(-4=-2a-2c),(1=-l*a-b):}$
facendo cramer mi esce che a=2 e c=0 ma poi non riesco a continuare, mi si annulla tutto, vuol dire che u appartiene al sottospazio per ogni l?
inoltre non riesco a capire poi che vuol dire trovare le componenti di questo nuovo vettore rispetto alla base trovata prima (la seconda domanda del secondo punto)
per adesso rispondo al tuo penultimo post
anche a me risulta che le 3 matrici sono linearmente indipendenti per ogni $l$
quindi la tua conclusione è corretta
edit: per quanto riguarda l'ultimo post,il sistema è
$ { ( b+cl=2 ),( a-al-b-c=3 ),( -2a-2c=-4 ),( -al-b=1 ):} $
che ha come soluzione $a=2;b=2;c=0;l=-3/2$
le componenti sono proprio $a,b,c$
anche a me risulta che le 3 matrici sono linearmente indipendenti per ogni $l$
quindi la tua conclusione è corretta
edit: per quanto riguarda l'ultimo post,il sistema è
$ { ( b+cl=2 ),( a-al-b-c=3 ),( -2a-2c=-4 ),( -al-b=1 ):} $
che ha come soluzione $a=2;b=2;c=0;l=-3/2$
le componenti sono proprio $a,b,c$
ok, grazie mille, ma tu il sistema come lo risolvi, usi sostituzione, cramer o altro? e mi puoi spiegare cosa vuol dire la seconda parte del secondo punto perchè non riesco a capire cosa chiede il problema
il sistema l'ho risolto sfruttando $-al-b=1$ avendo osservato che compare in 2 equazioni(quindi niente Cramer,banale sostituzione)
il secondo punto l'ho già spiegato : le componenti di $u$ rispetto alla base $v,w,x$ sono proprio i numeri $a,b,c$ tali che $u=av+bw+cx$
il secondo punto l'ho già spiegato : le componenti di $u$ rispetto alla base $v,w,x$ sono proprio i numeri $a,b,c$ tali che $u=av+bw+cx$
ok scusa, non ci avevo proprio fatto caso, grazie mille
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