Sottospazi vettoriali
Ciao a tutti! Mi serve un aiuto su questo esercizio:
Si consideri lo spazio vettoriale definito come $V={(x,y,z,w) in RR^4 : 2x-3y+w=0, 2x-y=-z}$
a) Si determini un sottospazio $W sub RR^4$ tale che $dim(W nn V)=1$ e $W+V=RR^4$.
b) Determinare un'applicazione lineare $f:RR^4 to RR_(<=2)[t]$ tale che il suo nucleo sia V e la sua immagine contenga il polinomio $t^2-5$.
Ho risolto entrambi i punti ma volevo una vostra conferma.
Per il punto a), ho utilizzato la formula di Grassman: $dim(V nn W)=dimV+dimW-dim(V+W)$, che diventa $1=2+dimW-4$; da qui ho dedotto che la dimW=3, e quindi l'ho definito come la base canonica di $RR^3$.
Per il punto b) ho utilizzato la formula: $dim(RR^4)=dim(Im(f))+dim(N(f))$, da cui ricavo che $dim(Im(f))=2$. A questo punto ho preso un qualsiasi vettore che fosse linearmente indipendente da $t^2-5$, come ad esempio $1$. Da questi dati ricavo l'applicazione lineare. E' giusto così?
Si consideri lo spazio vettoriale definito come $V={(x,y,z,w) in RR^4 : 2x-3y+w=0, 2x-y=-z}$
a) Si determini un sottospazio $W sub RR^4$ tale che $dim(W nn V)=1$ e $W+V=RR^4$.
b) Determinare un'applicazione lineare $f:RR^4 to RR_(<=2)[t]$ tale che il suo nucleo sia V e la sua immagine contenga il polinomio $t^2-5$.
Ho risolto entrambi i punti ma volevo una vostra conferma.
Per il punto a), ho utilizzato la formula di Grassman: $dim(V nn W)=dimV+dimW-dim(V+W)$, che diventa $1=2+dimW-4$; da qui ho dedotto che la dimW=3, e quindi l'ho definito come la base canonica di $RR^3$.
Per il punto b) ho utilizzato la formula: $dim(RR^4)=dim(Im(f))+dim(N(f))$, da cui ricavo che $dim(Im(f))=2$. A questo punto ho preso un qualsiasi vettore che fosse linearmente indipendente da $t^2-5$, come ad esempio $1$. Da questi dati ricavo l'applicazione lineare. E' giusto così?
Risposte
Per il punto a il tuo ragionamento funziona sulla dimensione, ma lo spazio generato dalla base canonica di $\mathbb{R}^3$ è ${w=0}$ e se lo metti a sistema con le equazioni dello spazio $V$ per trovare l' intersezione, ottieni due equazioni linearmente indipendenti. Quindi uno spazio di dimensione 2 e non di dimensione 1 come richiesto dall' esercizio.
Ciò che potresti fare è trovare una base ${v_1,v_2}$ di $V$. Completa poi a base di $\mathbb{R}^4$ con il procedimento standard, trovando così altri due vettori $v_3, v_4$. A questo punto puoi prendere come $W$, ad esempio, lo spazio generato da $v_2,v_3,v_4$.
Per b): tu sai che $V=Ker f$ e che $(-5,0,1)\in Im f$. Intanto va benissimo scegliere un vettore indipendente da questo, tipo il tuo, $(1,0,0)$. Io userei poi il fatto che le colonne della matrice relativa all'applicazione lineare generano $Im f$. Usando le notazioni precedenti, potresti quindi costruire una matrice così fatta:
$((0,0,1,-5),(0,0,0,0),(0,0,0,1))$
questa sarà la matrice dell'applicazione relativa alla base ${v_1,v_2,v_3,v_4}$ nel dominio e alla base canonica del codominio.
Sono stata chiara?
Paola
Per b): tu sai che $V=Ker f$ e che $(-5,0,1)\in Im f$. Intanto va benissimo scegliere un vettore indipendente da questo, tipo il tuo, $(1,0,0)$. Io userei poi il fatto che le colonne della matrice relativa all'applicazione lineare generano $Im f$. Usando le notazioni precedenti, potresti quindi costruire una matrice così fatta:
$((0,0,1,-5),(0,0,0,0),(0,0,0,1))$
questa sarà la matrice dell'applicazione relativa alla base ${v_1,v_2,v_3,v_4}$ nel dominio e alla base canonica del codominio.
Sono stata chiara?
Paola
Sì sei stata chiarissima! 
Grazie mille!!
Grazie mille!!
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