Sottospazi vettoriali
Salve! Ho un problema con quest'esercizio, che dovrebb'essere molto semplice da svolgere, ma che mi crea problemi in quanto ho dei dubbi sui sottospazi!
Nell'insieme R^2 strutturato a spazio vettoriale su R, si stabilisca quali dei seguenti insiemi di vettori sono linearmente indipendenti, quali sono un sistema di generatori dello spazio, e quali costituiscono una base:
A={(2,12), (-pigreco,-pigreco)},
B = {(2,-1/3),(-1,1/6)}
C = {(2/3,3/2),(2,3)},
D = {(1,2),(3,-2Rad(2)),(-2,2)}
Ora, io so che affinchè si possa verificare che due vettori siano linearmente indipendenti, basta costruire la matrice, utilizzando i vettori come righe, e determinarne il rango. Se il rango è massimo, allora i vettori sono linearmente indipendenti!
Per quanto riguarda i generatori dello spazio, io so che un sistema di generatori è un sottospazio, ad esempio il primo, , tale che = R^2, e che è una base se e soltanto se è un sistema di generatori e i vettori sono linearmente indipendenti.
Io riesco a ragionare sulla dipendenza, ed è anche molto semplice, in quanto si parla di calcolare il rango. Ma io come faccio a capire se B, ad esempio, è un sottospazio? La prima parte dell'esercizio è già svolta:
Per verificare la dipendenza lineare calcola il determinante della matrice (2 , 12) = 10pigreco e quindi ha rango = 2, rango massimo e
(-pigrego, - pigreco) sono quindi linearmente indipendenti
Poi mi da per assunto che A sia un sottospazio, ma io come faccio a capire se A è un sottospazio? E poi mi dice che =R^2 perchè, comunque presi (a,b) appartenenti a R^2, Esistono x,y appartenenti a R, tali che (a,b) = x(2,12) + y(-pigreco,-pigreco) e poi mi dice che è una base perchè il sistema
{2x-ypigreco=a
{12x-ypigreco=b
ammette una soluzione. Potreste aiutarmi a svolgere anche gli altri ? Poichè il mio unico problema, credo, sia capire quando un sottoinsieme è effettivamente un sottospazio! Vi ringrazio infinitamente per l'attenzione e per un'eventuale risposta!
Nell'insieme R^2 strutturato a spazio vettoriale su R, si stabilisca quali dei seguenti insiemi di vettori sono linearmente indipendenti, quali sono un sistema di generatori dello spazio, e quali costituiscono una base:
A={(2,12), (-pigreco,-pigreco)},
B = {(2,-1/3),(-1,1/6)}
C = {(2/3,3/2),(2,3)},
D = {(1,2),(3,-2Rad(2)),(-2,2)}
Ora, io so che affinchè si possa verificare che due vettori siano linearmente indipendenti, basta costruire la matrice, utilizzando i vettori come righe, e determinarne il rango. Se il rango è massimo, allora i vettori sono linearmente indipendenti!
Per quanto riguarda i generatori dello spazio, io so che un sistema di generatori è un sottospazio, ad esempio il primo, , tale che = R^2, e che è una base se e soltanto se è un sistema di generatori e i vettori sono linearmente indipendenti.
Io riesco a ragionare sulla dipendenza, ed è anche molto semplice, in quanto si parla di calcolare il rango. Ma io come faccio a capire se B, ad esempio, è un sottospazio? La prima parte dell'esercizio è già svolta:
Per verificare la dipendenza lineare calcola il determinante della matrice (2 , 12) = 10pigreco e quindi ha rango = 2, rango massimo e
(-pigrego, - pigreco) sono quindi linearmente indipendenti
Poi mi da per assunto che A sia un sottospazio, ma io come faccio a capire se A è un sottospazio? E poi mi dice che =R^2 perchè, comunque presi (a,b) appartenenti a R^2, Esistono x,y appartenenti a R, tali che (a,b) = x(2,12) + y(-pigreco,-pigreco) e poi mi dice che è una base perchè il sistema
{2x-ypigreco=a
{12x-ypigreco=b
ammette una soluzione. Potreste aiutarmi a svolgere anche gli altri ? Poichè il mio unico problema, credo, sia capire quando un sottoinsieme è effettivamente un sottospazio! Vi ringrazio infinitamente per l'attenzione e per un'eventuale risposta!
Risposte
Per capire quale insieme è un sottospazio vettoriale basta vedere se sono applicabili le proprietà dei sottospazi.
Avendo un K campo, e V uno spazio vettoriale, W non vuoto di V è un sottospazio vettoriale di V se W è uno spazio vettoriale in K nelle operazioni di somma e prodotto per uno scalare (DEFINIZIONE)
Il sottospazio gode di alcune proprietà:
- se a e b sono due vettori di W sottospazio vettoriale, allora la loro somma a+b = c è elemento di W
- il vettore nullo appartiene a W
- se a è un vettore di W, allora per ogni scalare p di K, il prodotto p*a appartiene a W
ora puoi verificare facilmente che A={(2,12), (-pigreco,-pigreco)}, è un sotto spaziovettoriale.
avendo questi due vettori:
la loro somma appartiene ad A? prova a costruire la matrice e vedrai che il vettore somma è combinazione lineare degli altri due.
il vettore nullo appartiene a A? moltiplica per lo scalare 0.
se 34 è uno scalare del campo nel quale è definito, 34*(2,12) appartiene a W? si, è combinazione lineare di (2,12)
Questo è il modo più barbaro.
Devi capire che un sottospazio vettoriale è sempre pensato rispetto ad uno spazio vettoriale.
esempio una retta ed un piano sono sottospazi di R^3
l'origine è un sottospazio di qualsiasi spazio vettoriale.
Spero di esserti stato d'aiuto!
Avendo un K campo, e V uno spazio vettoriale, W non vuoto di V è un sottospazio vettoriale di V se W è uno spazio vettoriale in K nelle operazioni di somma e prodotto per uno scalare (DEFINIZIONE)
Il sottospazio gode di alcune proprietà:
- se a e b sono due vettori di W sottospazio vettoriale, allora la loro somma a+b = c è elemento di W
- il vettore nullo appartiene a W
- se a è un vettore di W, allora per ogni scalare p di K, il prodotto p*a appartiene a W
ora puoi verificare facilmente che A={(2,12), (-pigreco,-pigreco)}, è un sotto spaziovettoriale.
avendo questi due vettori:
la loro somma appartiene ad A? prova a costruire la matrice e vedrai che il vettore somma è combinazione lineare degli altri due.
il vettore nullo appartiene a A? moltiplica per lo scalare 0.
se 34 è uno scalare del campo nel quale è definito, 34*(2,12) appartiene a W? si, è combinazione lineare di (2,12)
Questo è il modo più barbaro.
Devi capire che un sottospazio vettoriale è sempre pensato rispetto ad uno spazio vettoriale.
esempio una retta ed un piano sono sottospazi di R^3
l'origine è un sottospazio di qualsiasi spazio vettoriale.
Spero di esserti stato d'aiuto!
Quindi... con l'insieme di vettori B avrei che la somma è (1,-1/6) ora... come verifico se effettivamente questa somma appartiene a B? La somma non può essere sempre scritta come combinazione lineare? Perdona l'insistenza e la mia ignoranza, ma è qualcosa che non ho proprio capito!
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