Sottospazi vettoriali

[giusi,110]

Buona sera.. sto studiando per l'esame di geometria, ma nonostante queste cose fino a un paio di mesi fa le sapessi fare, ora non ricordo più niente!! vi scrivo un esercizio semplice semplice...

Stabilire se il seguente sottoinsieme di [tex]\mathbb{R}^4[/tex] sia un sottospazio vettoriale e in caso affermativo determinare la dimensione e le basi:

[tex]W_1= {(a,a+1,a-b,0) : a,b \in \mathbb{R}}[/tex] il tutto tra parentesi grafe.. non mi escono

allora ho fatto così:

per essere un sottospazio deve essere chiuso rispetto alla somma e al prodotto di uno scalare per un vettore....

quindi io ho considerato [tex]w_1= ( a_1 , a_1+1,a_1-b_1,0)[/tex] e [tex]w_2 = (a_2 , a_2+1 , a_2-b_2, 0)[/tex] e ho fatto la somma [tex]w_1 + w_2[/tex] ottenendo [tex][a_1+a_2 , (a_1+a_2) + 2, (a_1+a_2)-(b_1+b_2) , 0][/tex] quindi questa non è chiusa rispetto alla somma e non è un sottospazio vettoriale...

non so se sia giusto questo ragionamento.. anche perchè non riesco a capire se scrivere [tex](a , a+1 , a-b , 0)[/tex] in questo modo \begin{vmatrix}a \\ a+1 \\ a-b \\ 0 \end{vmatrix} sia giusto...

ora.... quanti errori ho fatto??

[losangeles-lakers]

Per me non è un sottospazio sai perchè? comunque presi a e b ∈ R non ti verrà mai il vettore nullo ad esempio per far si che al secondo posto venga 0 dobbiamo prendere a1=-1 e a2=-1 ma facendo ciò al primo posto non ti verrà mai 0 e di conseguenza il vettore nullo non appartiene quindi non può essere un sottospazio

[giusi,110]

si si questo è evidente ma io voglio capire se quel tipo di ragionamento è giusto e procedere con un altro esercizio... grazie per la risposta!

[losangeles-lakers]

Si si è esatto tu per verificare che un sottoinsieme può essere sottospazio devi ragionare proprio così.... Cioè deve essere chiuso rispetto alla somma rispetto alla moltiplicazione, avere il vettore nullo, e dobbiamo avere l'opposto di ogni elemento

[giusi,110]

perfetto...ora stesso comando ma ho il seguente sottoinsieme di [tex]\mathbb{R}^4[/tex]

[tex]W ={(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 : 2x-y+t=0 , y=-3z}[/tex]

so che che un sottospazio vettoriale, ma mi chiede la dimensione e la base... per trovare la dimensione vedo quanti elementi ho nella base...

ma la base?? come la provo?!? non so davvero come procedere qui

[Kashaman]

Si tratta di risolvere un piccolo sistema.
Trovi che $y=-3z$ e $t=-2x+y=-2x-3z$ sostituisci e...

[giusi,110]

sostituisco in che senso??
cioè dopo aver impostato il sistema [tex]\begin{cases} y=-3z\\ t= -2x-3z
\end{cases}[/tex] come mi muovo??
una base deve essere del tipo (x,y,z,t) ma come li metto questi valori?? a caso o c'è un senso logico??

del tipo, pongo [tex]x=1[/tex] e [tex]y=0[/tex] e ottengo gli altri valori... ma ha senso??

[losangeles-lakers]

la base è costituita da tutti vettori linearmente indipendenti cioè i vettori devono avere come combinazione lineare SOLO quella banale ovvero 0000. Come fare? prendere i vettori che hai nel insime moltiplicarli per uno scalare e porre nel sistema tutto uguale a zero se gli scalari vengo tutti zero i vettori sono linearmente indipendenti quindi sono una base.

[giusi,110]

ho risolto... siccome ho due variabili libere,quali z e x , la dimensione di W è 2... i vettori che lo generano e che sono linearmente indipendenti saranno [tex]w_1,w_2[/tex]...

sarà [tex]w_1=(1,0,0,-2)[/tex]e [tex]w_2=(0,-3,1,-3)[/tex] ho sbagliato???

[losangeles-lakers]

Esatto

[giusi,110]

alla prof il secondo vettore esce (0,1,-1/3, 0)....

perchè?? anche ponendo z=-1/3 , con la y= 1 mi ritrovo ma la t=0 no.. la t= 1!!!