Sottospazi ortogonali
Se io ho uno spazio vettoriale A, (1,0,1,1),(0,1,1,0),(1,1,2,1) come faccio a trovare A ortogonale?
Risposte
Scrivere bene i testi dei problemi non è più di moda, vero?
Credo che vorresti sapere come risolvere l'esercizio: "Determinare in $RR^4$ il sottospazio ortogonale al sottospazio generato da $A=\{ a_1=(1,0,1,1),a_2=(0,1,1,0),a_3=(1,1,2,1)\}$".
Basta ricordare che un vettore $v:=(x,y,z,t)$ è ortogonale a $"span" A$ se e solo se $v*a_i=0$ per $i=1,2,3$ (qui evidentemente $*$ è il prodotto scalare che stai usando): scrivendo esplicitamente le tre uguaglianze trovi un sistema lineare omogeneo in $x,y,z,t$ e l'ortogonale di $"span" A$ è lo spazio delle soluzioni di tale sistema.
Credo che vorresti sapere come risolvere l'esercizio: "Determinare in $RR^4$ il sottospazio ortogonale al sottospazio generato da $A=\{ a_1=(1,0,1,1),a_2=(0,1,1,0),a_3=(1,1,2,1)\}$".
Basta ricordare che un vettore $v:=(x,y,z,t)$ è ortogonale a $"span" A$ se e solo se $v*a_i=0$ per $i=1,2,3$ (qui evidentemente $*$ è il prodotto scalare che stai usando): scrivendo esplicitamente le tre uguaglianze trovi un sistema lineare omogeneo in $x,y,z,t$ e l'ortogonale di $"span" A$ è lo spazio delle soluzioni di tale sistema.
Effettivamente non è ne un problema, ne un esercizio, mi sono inventato tutto.
Allora banalmente 0.0.0.0 è ortogonale a qualsiasi vettore.
Se ho un vettore (1,2,3,4), il vettore che moltiplicato per questo mi da il vettore (0,0,0,0) sarebbe l'ortogonale di (1,2,3,4), giusto?
Però nel caso si parla di uno spazio lineari, e quindi nell'esempio che ti ho citato, devo trovare tre vettori b1,b2 e b3, e poi fare
b1xa1
b2xa2
b3xa3
e dovrei così ottenere tre vettori nulli. Giusto?
Ma c'è un metodo per trovarli, un sistema, o si va ad intuizione?
Allora banalmente 0.0.0.0 è ortogonale a qualsiasi vettore.
Se ho un vettore (1,2,3,4), il vettore che moltiplicato per questo mi da il vettore (0,0,0,0) sarebbe l'ortogonale di (1,2,3,4), giusto?
Però nel caso si parla di uno spazio lineari, e quindi nell'esempio che ti ho citato, devo trovare tre vettori b1,b2 e b3, e poi fare
b1xa1
b2xa2
b3xa3
e dovrei così ottenere tre vettori nulli. Giusto?
Ma c'è un metodo per trovarli, un sistema, o si va ad intuizione?
"pyur":
Effettivamente non è ne un problema, ne un esercizio, mi sono inventato tutto.
Allora banalmente 0.0.0.0 è ortogonale a qualsiasi vettore.
Se ho un vettore (1,2,3,4), il vettore che moltiplicato per questo mi da il vettore (0,0,0,0) sarebbe l'ortogonale di (1,2,3,4), giusto?
Sbagliatissimo.
Un prodotto scalare è un'applicazione bilineare di $RR^n \times RR^n to RR$, quindi la condizione d'ortogonalità tra due vettori $a,b \in RR^n$ è $a*b=0$ con $0\in RR$ (zero scalare non vettore!!!).
"pyur":
Però nel caso si parla di uno spazio lineari, e quindi nell'esempio che ti ho citato, devo trovare tre vettori b1,b2 e b3, e poi fare
b1xa1
b2xa2
b3xa3
e dovrei così ottenere tre vettori nulli. Giusto?
Ma c'è un metodo per trovarli, un sistema, o si va ad intuizione?
Certo che c'è un metodo e te l'ho pure detto nel mio post precedente.
L'ortogonale coincide con lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo:
$\quad \{ (v*a_1=0),(v*a_2=0),(v*a_3=0):} \quad \Leftrightarrow \quad \{ (a_(11)x+a_(12)y+a_(13)z+a_(14)t=0),(a_(21)x+a_(22)y+a_(23)z+a_(24)t=0),(a_(31)x+a_(32)y+a_(33)z+a_(34)t=0):}$
Se hai studiato un po' di Algebra Lineare saprai che un sistema del genere ha uno spazio delle soluzioni $S$ almeno di dimensione $1$ (ci sono 4 incognite e solo 3 equazioni!) e saprai anche come fare per determinarne le soluzioni.
Fatto ciò, una base dell'ortogonale di $"span" A$ è una qualsiasi base di $S$.
Ok grazie sei stato chiarissimo, penso di esserci arrivato... facciamo la prova del nove per conferma.
Prendiamo il sottospazio del primo esempio, A: (1,0,1,1),(0,1,1,0),(1,1,2,1), mi faccio il sistema
x1+x3+x4=0
x2+x3=0
x1+x2+2x3+x4=0
che svolto mi restituisce
x1+x3+x4=0
quindi posso dire che Aortogonale può essere definito come (1,0,1,1).
Giusto?
Prendiamo il sottospazio del primo esempio, A: (1,0,1,1),(0,1,1,0),(1,1,2,1), mi faccio il sistema
x1+x3+x4=0
x2+x3=0
x1+x2+2x3+x4=0
che svolto mi restituisce
x1+x3+x4=0
quindi posso dire che Aortogonale può essere definito come (1,0,1,1).
Giusto?
Guarda che hai sbagliato a risolvere il sistema...
Ad ogni modo, la matrice dei coefficienti ha rango 2 quindi basta prendere il sistema ridotto formato dalle prime due equazioni:
$\{ (x_1+x_3+x_4=0), (x_2+x_3=0):}$
visto che il rango è 2 puoi passare due incognite ai termini noti e lasciarli come parametri; scegliendo $x_3=\lambda,x_4=\mu$ trovi che lo spazio delle soluzioni $S$ è quello fatto dai vettori $v=(x_1,x_2,x_3,x_4)$ che hanno le componenti uguali a:
$\{(x_1=-(\lambda+\mu)),(x_2=-\lambda),(x_3=\lambda),(x_4=\mu):}$
il che vuol dire $v=\lambda(-1,-1,1,0)+\mu(-1,0,0,1)$ e perciò $S="span"\{ (-1,-1,1,0),(-1,0,0,1)\}$.
Infine $A^o="span"\{ (-1,-1,1,0),(-1,0,0,1)\}$ (qui ovviamente $A^o$ è l'ortogonale di $A$).
Ad ogni modo, la matrice dei coefficienti ha rango 2 quindi basta prendere il sistema ridotto formato dalle prime due equazioni:
$\{ (x_1+x_3+x_4=0), (x_2+x_3=0):}$
visto che il rango è 2 puoi passare due incognite ai termini noti e lasciarli come parametri; scegliendo $x_3=\lambda,x_4=\mu$ trovi che lo spazio delle soluzioni $S$ è quello fatto dai vettori $v=(x_1,x_2,x_3,x_4)$ che hanno le componenti uguali a:
$\{(x_1=-(\lambda+\mu)),(x_2=-\lambda),(x_3=\lambda),(x_4=\mu):}$
il che vuol dire $v=\lambda(-1,-1,1,0)+\mu(-1,0,0,1)$ e perciò $S="span"\{ (-1,-1,1,0),(-1,0,0,1)\}$.
Infine $A^o="span"\{ (-1,-1,1,0),(-1,0,0,1)\}$ (qui ovviamente $A^o$ è l'ortogonale di $A$).
ok grazie tutto chiaro 
gentilissimo.
gentilissimo.
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