Sottospazi invarianti monodimensionali
Salve ragazzi, vorrei capire se ho capito questo argomento, a grandi linee (l'esame è automazione non algebra lineare,ma si sa è tutto collegato).
Quello che ho capito è che:
Supponiamo di avere $X$ spazio vettoriale.
Sia $x$ $in$ $X$, un generico elemento del suddetto spazio.
Questo vettore sicuramente genera un sotto-spazio monodimensionale,ossia la retta passante per $x$ dall'origine ok?
A questo punto si può dire che data un'applicazione $A$ ,il sottospazio monodimensionale generato da $x$ è invariante per $A$ se
$Ax$ appartiene ancora al sotto-spazio generato da esso stesso.
Detto questo si impone un eguaglianza $Ax=lambda x$ che ci permette di trovare autovalori, poi per ognuno di essi si trovano autovettori,supponiamo per semplicità che la matrice sia di semplice struttura.
Posso quindi dire che gli autovettori sono quei vettori dello spazio iniziale, il quale sottospazio monodimensionale è anche invariante per l'applicazione in questione?
Quello che ho capito è che:
Supponiamo di avere $X$ spazio vettoriale.
Sia $x$ $in$ $X$, un generico elemento del suddetto spazio.
Questo vettore sicuramente genera un sotto-spazio monodimensionale,ossia la retta passante per $x$ dall'origine ok?
A questo punto si può dire che data un'applicazione $A$ ,il sottospazio monodimensionale generato da $x$ è invariante per $A$ se
$Ax$ appartiene ancora al sotto-spazio generato da esso stesso.
Detto questo si impone un eguaglianza $Ax=lambda x$ che ci permette di trovare autovalori, poi per ognuno di essi si trovano autovettori,supponiamo per semplicità che la matrice sia di semplice struttura.
Posso quindi dire che gli autovettori sono quei vettori dello spazio iniziale, il quale sottospazio monodimensionale è anche invariante per l'applicazione in questione?
Risposte
Ovvio che sì; e spero che sia ovvio che si stà parlando di un endomorfimo lineare!
Certo.
Gli autovettori sono i soli vettori che generano un sotto-spazio invariante monodimensionale?
Che differenza c'è fra autospazio e sottospazio?
Gli autovettori sono i soli vettori che generano un sotto-spazio invariante monodimensionale?
Che differenza c'è fra autospazio e sottospazio?
Gli autovettori sono gli unici vettore che generano un sottospazio lineare monodimensionale invariante rispetto ad un dato endomorfismo lineare dello spazio lineare ambiente.
Detto questo prova a risponderti alla seconda domanda!
Detto questo prova a risponderti alla seconda domanda!
Un autospazio non è l'insieme degli autovettori relativi ad un determinato autovalore?
Un autospazio di un autovalore può nella sua interezza essere o non essere sottospazio monodimensionale.
Se un autovalore generasse 2 autovettori linearmente indipendendenti allora la monodimensionalità non è più confermata,sbaglio?
Invece un autospazio sarà SEMPRE invariante,per quella particolare applicazione,no?
Un autospazio di un autovalore può nella sua interezza essere o non essere sottospazio monodimensionale.
Se un autovalore generasse 2 autovettori linearmente indipendendenti allora la monodimensionalità non è più confermata,sbaglio?
Invece un autospazio sarà SEMPRE invariante,per quella particolare applicazione,no?
Tutto giusto; sottointendendo l'endomorfismo lineare di cui consideri autovalori ed autospazi: cosa c'è che non ti torna? 
Grazie adesso penso di avermi chiarito la cosa.
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