Sottospazi in forma implicita.
Ho un sottospazio scritto in forma implicita:
${f(x; y; z) in RR^3 | x - 2y + z = 0}$
Il libro mi suggerisce un metodo per calcolare la dimensione, sostituendo ai due parametri $t$ e $s$ che sostituisco alle variabili libere, rispettivamente i valori 1 e 0. Non riesco a giustificarmelo pienamente alla luce di quanto avrei dovuto imparare dalla teoria. Qualcuno è in grado di aiutarmi?[/quote]
${f(x; y; z) in RR^3 | x - 2y + z = 0}$
Il libro mi suggerisce un metodo per calcolare la dimensione, sostituendo ai due parametri $t$ e $s$ che sostituisco alle variabili libere, rispettivamente i valori 1 e 0. Non riesco a giustificarmelo pienamente alla luce di quanto avrei dovuto imparare dalla teoria. Qualcuno è in grado di aiutarmi?[/quote]
Risposte
Il fatto è che quando tu risolvi l'equazione, ciò che stai facendo in realtà è passare dalla forma implicita ad una forma esplicita. In forma esplicita allora il tuo sottospazio sarà presentato come immagine di una applicazione lineare (mentre in forma implicita era il nucleo). E' una cosa che a suo tempo non riuscivo a mettermi in testa nemmeno io.
Prova a guardare qui, pagina 89 (del pdf, 85 se segui la numerazione sulla pagina), paragrafo 1.2.3 ("Interpretazione geometrica").
La dimensione è evidentemente 2.
Scusate Dissonance e Sergio se ho ripreso l'esercizio solo ora.
In ogni caso, è quell' "evidentemente" che non mi convince.
Teoricamente io dovrei "giustificare" quello che mi sembra solo un trucco, con considerazioni banali, ma comunque con considerazioni teoriche. Sapreste spiegarmi "con il cucchiaino" il trucco a quali "banali" definizioni rimanda?
Chi mi aiuta?
Nell'attesa scrivo un po' come ho pensato potesse essere spiegata la procedura applicata nel modo più esauriente possibile.
Il modo più facile è perché è evidente che ogni vettore di $U$ può essere scritto come combinazione lineare dei vettori $(210$ e $(-101)$ e che "bastano" due vettori per esprimere un generico vettore di U. Però, non so perché, è come se non fossi molto convinto.
Grazie infinite, Sergio.
In effetti mi ero ricordato di questa proprietà, ma cercavo un altro modo più legato alle definizioni di base.
Mi confermi che quello da te addotto è l'unico modo "teorico" che ho per giustificare la scomposizione da te fatta e da me copiata nel mio messaggio di risposta?
In effetti io il teorema di Rouchè-Capelli l'avrei visto solo come discriminante della compatibilità di un sistema lineare, e non come discriminante della dimensione del sottospazio affine di $KK^n$ di dimensione $n-rg(A)$, dove con $A$ indico la matrice incompleta.
Ora, quello che tu mi hai scritto io l'ho interpretato considerando l'equazione come sistema omogeneo, perché era proprio il caso di un sistema omogeneo-una equazione e tre incognite, come hai scritto tu-. Però converrai con me che questo non accade sempre, poiché posso anche avere sottospazi che abbiano altre condizioni a determinarne la natura.
Quello che dico io varrebbe se per determinate ennuple il fatto di essere soluzioni di un sistema omogeneo e il fatto di essere elementi di un sottospazio fosse equivalente, e sempre equivalente (nei sistemi omogenei a una soluzione, il discorso varrebbe ovviamente per il sottospazio banale costituito dal vettore nullo). Me lo confermate? A me pare sia vero. Se così fosse, avrei risolto molti dei miei problemi
.
In effetti mi ero ricordato di questa proprietà, ma cercavo un altro modo più legato alle definizioni di base.
Mi confermi che quello da te addotto è l'unico modo "teorico" che ho per giustificare la scomposizione da te fatta e da me copiata nel mio messaggio di risposta?
In effetti io il teorema di Rouchè-Capelli l'avrei visto solo come discriminante della compatibilità di un sistema lineare, e non come discriminante della dimensione del sottospazio affine di $KK^n$ di dimensione $n-rg(A)$, dove con $A$ indico la matrice incompleta.
Ora, quello che tu mi hai scritto io l'ho interpretato considerando l'equazione come sistema omogeneo, perché era proprio il caso di un sistema omogeneo-una equazione e tre incognite, come hai scritto tu-. Però converrai con me che questo non accade sempre, poiché posso anche avere sottospazi che abbiano altre condizioni a determinarne la natura.
Quello che dico io varrebbe se per determinate ennuple il fatto di essere soluzioni di un sistema omogeneo e il fatto di essere elementi di un sottospazio fosse equivalente, e sempre equivalente (nei sistemi omogenei a una soluzione, il discorso varrebbe ovviamente per il sottospazio banale costituito dal vettore nullo). Me lo confermate? A me pare sia vero. Se così fosse, avrei risolto molti dei miei problemi
.
Sergio, vedi che ho aggiornato il mio script di prima. Scusami.
In effetti quello sarebbe un problema successivo. Io penso che il quesito "Trovare la dimensione e una base" sia da scomporre in due quesiti differenti, e ci sarebbe quindi prima da risolvere il primo, e poi sulla base del primo risolvere il secondo. Quindi,
se
occorrerebbe prima capire questo numero e poi trovare una base. Vero?
Il problema è: come trovare una base?
In effetti quello sarebbe un problema successivo. Io penso che il quesito "Trovare la dimensione e una base" sia da scomporre in due quesiti differenti, e ci sarebbe quindi prima da risolvere il primo, e poi sulla base del primo risolvere il secondo. Quindi,
se
La dimensione non è altro che il numero dei vettori che compaiono in essa.
occorrerebbe prima capire questo numero e poi trovare una base. Vero?
Altro esempio: hai un sottospazio definito da un insieme di generatori (niente di strano). Per trovare la dimensione devi vedere quanti di essi sono linearmente indipendenti, ma appena lo fai trovi contemporaneamente anche una base.
In effetti non è sempre vero, forse non è mai vero. Il fatto è che parole come "evidente", a volte, come già ho scritto prima, non sono ben chiare.
Per semplicità, parlo di ennuple, e non di vettori, tuttavia intendo il caso generale, tanto non cambia di molto per quello che voglio dire.
Nel caso di un insieme di generatori definito, il problema non si pone: dimostrare l'indipendenza, per l'implicazione secondo cui un insieme composto dal massimo numero di vettori indipendenti del sottospazio è una base di un certo sottospazio, significa automaticamente trovare la dimensione dello spazio e una sua base al contempo.
Nelle questioni in cui i vettori sono espressi in forma "parametrica", con valori variabili delle componenti delle ennuple (tuttavia dipendenti gli uni dagli altri), o nel caso in cui le ennuple siano costituite da componenti note e da componenti variabili, allora si può allo stesso modo ragionare, ove possibile, come nel caso in cui le ennuple del sistema di generatori siano composte tutte da componenti note. Si tratta di esprimere ogni vettore come combinazione lineare di determinati vettori, e ragionare un po' sulla forma della combinazione lineare per capire quale sia la dimensione di un sottospazio.
Tuttavia, non ho considerato tutti i casi possibili e immaginabili, in cui mi può essere presentato un sottospazio. Questo implica semplicemente che non so se potrò mai trovarmi nel caso che ti ho presentato all'inizio della discussione, che riconduce automaticamente ad una combinazione lineare e quindi ci permette di capire dimensione e base del sottospazio.
Quindi, cerco di fare uno sforzo e pensare da matematico. Cerco un teorema, un qualcosa, quanto più "generale" possibile, che sia sempre applicabile per determinare la dimensione (una volta determinata la dimensione sfruttando tale "giustificazione"-che cerco, ripeto, affinchè sia applicabile davvero a tutti i casi-, penso che trovare una base sia banale, anche se non sono sicuro nemmeno di questo).
Probabilmente associare in maniera "biunivoca" ogni sottospazio all'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo, e viceversa considerare l'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo come sottospazio -per questo prima chiedevo se si potesse fare questo: a me pare di sì, visto che ogni sottospazio (sempre che sia davvero "ogni sottospazio" a poter essere tradotto, quindi anche matrici, polinomi, etc.) può essere "modellizzato" come un sistema lineare omogeneo)-; dicevo, tale cosa avrebbe risolto ogni problema: traduco il sottospazio in un sistema e vedo se è omogeneo, e così stabilisco: 1) che l'insieme dato sia sottospazio; 2) che esso abbia una data dimensione (uguale a n-rg(A)).
Non solo, ma questo mi consente anche di scartare a priori, solo vedendoli, insiemi di ennuple le cui componenti siano legate tra loro secondo un sistema lineare non omogeneo, che se vale l' equivalenza di prima (quindi il "solo se" dell' equivalenza) non possono essere sottospazi.
Perciò cerco qualcosa di più generale, e in tal senso considero i due processi della richiesta separati.
1) Spesso devi ragionare su un sottospazio basandoti su come viene definito; non è detto che ti venga sempre definito con un'equazione o con un sistema di equazioni - vedi il caso che ti venga definito mediante un insieme di generatori: a che ti servirebbe tradurre l'insieme in un sistema di equazioni?
Quando non serve, infatti, non lo faccio.
Non credo proprio che qualsiasi sottospazio (vettoriale) possa essere "modellizzato come un sistema lineare omogeneo".
Penso si debbano considerare i coordinati rispetto alla base canonica. Comunque, mi era sorto il dubbio, ci penso un attimo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo