Sottospazi generati da varaibili casuali di $L^2$

[carletto_76]

Sia {$X_1$,$X_2$,...} una successione di variabili casuali al quadrato sommabili e quindi una successione di elementi di $L^2$ (attenzione: il limite della successione potrebbe non essere al quadrato sommabile).

La domanda è questa: gli elementi di questa successione generano un sottospazio di $L^2$ o no? Se no quali sono le condizioni che gli elementi della successione devono soddisfare perchè la risposta alla domanda sia sì?

Caffè e briosche per chi ci toglie da questo impiccio.

[Chevtchenko]

Perche' non dovrebbero? Ovviamente, come tu stesso fai notare, non e' detto che questo sottospazio sia chiuso.

[carletto_76]

grazie per la risposta (scusa ma non sono un matematico!).

Non ho ben chiara una cosa: lo spazio che generano gli elementi di quella successione è uno spazio di hilbert incluso in $L^2$.

esistono successioni di $L^2$ che non generano spazi di hilbert inclusi in $L^2$? sapresti farmi un esempio?

grazie

[Chevtchenko]

"carletto_76":grazie per la risposta (scusa ma non sono un matematico!).

Non ho ben chiara una cosa: lo spazio che generano gli elementi di quella successione è uno spazio di hilbert incluso in $L^2$.

esistono successioni di $L^2$ che non generano spazi di hilbert inclusi in $L^2$? sapresti farmi un esempio?

grazie

Un momento, non ho detto che il sottospazio generato sia uno spazio di Hilbert, a priori e' solo un sottospazio vettoriale!

[carletto_76]

Correggimi se sbaglio: il sottospazio vettoriale che si genera, diciamo $H^-$, può essere reso uno spazio di Hilbert $H$ (chiuso ed incluso in $L^2$) aggiungendo ad $H^-$ tutti i punti limite secondo la norma di $L^2$.

Tutto questo ricordando che ogni elemento della successione che genera il sottospazio appartiene ad $L^2$.

grazie ancora, se passi a milano hai pronto capuccio e brioche, come promesso.