[SOTTOSPAZI] Esercizi con parametro h
Salve a tutti, sono nuovo e mi complimento con voi per la gestione del forum che a primo impatto sembra ottimale.
Ho questo esercizio e non riesco a capire come risolverlo.
Assegnati i seguenti sottospazi:
$W_h$ = L ((2,0,0,-2h),(1,h,1,1),(0,1,h,0)) con h$\epsilon$ R
U = { (x,y,z,t) $\epsilon$ $R^4$ : t=0, 2x + 3y - 2z = 0 }
1a) Determinare la dimensione di $W_h$ per ogni h$\epsilon$ R ;
2) Determinare i valori del parametro h tali che la somma di $W_h$ + U sia diretta;
3) Determinare i valori del parametro h tali che il vettore (0, -5, 1, -8) appartenga a $W_h$
Dato U = L((1,0,0,1),(-1,0,1,0))
1b) Determinare h affinchè (12, 0, h, -$h^2$) $\epsilon$U
Grazie a tutti in anticipo per un eventuale risposta e chiedo scusa se ancora non so usare le formule
Ho questo esercizio e non riesco a capire come risolverlo.
Assegnati i seguenti sottospazi:
$W_h$ = L ((2,0,0,-2h),(1,h,1,1),(0,1,h,0)) con h$\epsilon$ R
U = { (x,y,z,t) $\epsilon$ $R^4$ : t=0, 2x + 3y - 2z = 0 }
1a) Determinare la dimensione di $W_h$ per ogni h$\epsilon$ R ;
2) Determinare i valori del parametro h tali che la somma di $W_h$ + U sia diretta;
3) Determinare i valori del parametro h tali che il vettore (0, -5, 1, -8) appartenga a $W_h$
Dato U = L((1,0,0,1),(-1,0,1,0))
1b) Determinare h affinchè (12, 0, h, -$h^2$) $\epsilon$U
Grazie a tutti in anticipo per un eventuale risposta e chiedo scusa se ancora non so usare le formule
Risposte
Come da regolamento, dovresti postare i tuoi tentativi.
Paola
Paola
E' vero, chiedo scusa. Allora ho provato gli esercizi:
1a ) La dimensione di $W_h$ è uguale a 3 se il rango della matrice
$((2,0,0,-2h),(1,h,1,1),(0,1,h,0))$
è uguale a 3.
Quindi dobbiamo porre il determinante delle due sottomatrici diversi da 0.
$((2,0,0),(1,h,1),(0,1,h))$
da questa abbiamo $h^2$-1$!=$0, quindi per h$!=$1 e h$!=$-1
$((0,0,-2h),(h,1,1),(1,h,0))$
da questa abbiamo -2$h^3$+2h$!=$0, quindi di nuovo per h$!=$1 e h$!=$-1
Allora si arriva alla conclusione che:
La dim di $W_h$ è uguale a 3 per h$!=$1, mentre la dim di $W_h$ è uguale a 2 per h$=$1
2) Affinchè la somma di due sottospazi sia diretta, l'intersezione delle loro rappresentazioni cartesiane deve ammettere come unica soluzione l'origine.
Poichè dim($W_h$+U)=dim($W_h$)+dim(U)=dim($W_h$)+2 e dim($W_h$+U)=4,
allora dim($W_h$)$<=$2
Essendo la dim di $W_h$ uguale a 2 per h$=$1, allora bisognerebbe fare la rappresentazione cartesiana in questo modo
$((x,y,z,t),(2,0,0,-2),(1,1,1,1),(0,1,1,0))$
con h=1.
La rappresentazione cartesiana mi viene y-z=0 e quindi il sistema è
$\{(y - z = 0),(t = 0),(2x + 3y -2z = 0):}$
Ma la soluzione non mi sembra sia (0,0,0,0).
3)Affinchè (0, -5, 1, -8) appartenga a $W_h$
$((2,0,0,-2h),(1,h,1,1),(0,1,h,0),(0, -5, 1, -8))$ la matrice deve avere rango=3, quindi poniamo il determinante uguale a 0.
Alla fine l'equazione sarà $h^2$-2h-3 = 0, ciò è vera per h = -1 e h = 3.
1b) Stesso procedimento del 3, ma mi viene h impossibile da determinare in quanto delta negativo sotto la radice. Quindi per nessun valore di h quel vettore appartiene ad U.
Che ne dite dei procedimenti ? Filano?
1a ) La dimensione di $W_h$ è uguale a 3 se il rango della matrice
$((2,0,0,-2h),(1,h,1,1),(0,1,h,0))$
è uguale a 3.
Quindi dobbiamo porre il determinante delle due sottomatrici diversi da 0.
$((2,0,0),(1,h,1),(0,1,h))$
da questa abbiamo $h^2$-1$!=$0, quindi per h$!=$1 e h$!=$-1
$((0,0,-2h),(h,1,1),(1,h,0))$
da questa abbiamo -2$h^3$+2h$!=$0, quindi di nuovo per h$!=$1 e h$!=$-1
Allora si arriva alla conclusione che:
La dim di $W_h$ è uguale a 3 per h$!=$1, mentre la dim di $W_h$ è uguale a 2 per h$=$1
2) Affinchè la somma di due sottospazi sia diretta, l'intersezione delle loro rappresentazioni cartesiane deve ammettere come unica soluzione l'origine.
Poichè dim($W_h$+U)=dim($W_h$)+dim(U)=dim($W_h$)+2 e dim($W_h$+U)=4,
allora dim($W_h$)$<=$2
Essendo la dim di $W_h$ uguale a 2 per h$=$1, allora bisognerebbe fare la rappresentazione cartesiana in questo modo
$((x,y,z,t),(2,0,0,-2),(1,1,1,1),(0,1,1,0))$
con h=1.
La rappresentazione cartesiana mi viene y-z=0 e quindi il sistema è
$\{(y - z = 0),(t = 0),(2x + 3y -2z = 0):}$
Ma la soluzione non mi sembra sia (0,0,0,0).
3)Affinchè (0, -5, 1, -8) appartenga a $W_h$
$((2,0,0,-2h),(1,h,1,1),(0,1,h,0),(0, -5, 1, -8))$ la matrice deve avere rango=3, quindi poniamo il determinante uguale a 0.
Alla fine l'equazione sarà $h^2$-2h-3 = 0, ciò è vera per h = -1 e h = 3.
1b) Stesso procedimento del 3, ma mi viene h impossibile da determinare in quanto delta negativo sotto la radice. Quindi per nessun valore di h quel vettore appartiene ad U.
Che ne dite dei procedimenti ? Filano?
Non so se ho tempo di rispondere a tutto, spero di poter completare dopo.
Prendiamo la matrice
$((2,0,0,-2h),(1,h,1,1),(0,1,h,0))$
e usiamo il metodo degli orlati. Il rango è certamente maggiore o uguale ad $1$ perchè ci sono elementi non nulli (cioè minori non nulli di ordine 1). Consideriamo il minore $|(2,0),(1,h)|=2h$.
Caso 1: $h=0$
La matrice diventa $((2,0,0,0),(1,0,1,1),(0,1,0,0))$, dunque ha rango $3$.
Caso 2: $h\ne 0$ il rango è maggiore o uguale di $2$. Orliamo il nostro minore non nullo negli unici due modi possibili:
1) $|(2,0,0),(1,h,1),(0,1,h)|=2h^2-2=2(h^2-1)=2(h+1)(h-1)$
2) $|(2,0,-2h),(1,h,1),(0,1,0)|=-2h-2=-2(h+1)$
dunque
Sottocaso 2a: $h=-1$ il rango è $2$
Sottocaso 2b: $h=1$ il rango è $3$ ( il minore 2) di ordine 3 è non nullo)
Sottocaso 2c: $h\ne 1,-1$ il rango è $3$.
Paola
Prendiamo la matrice
$((2,0,0,-2h),(1,h,1,1),(0,1,h,0))$
e usiamo il metodo degli orlati. Il rango è certamente maggiore o uguale ad $1$ perchè ci sono elementi non nulli (cioè minori non nulli di ordine 1). Consideriamo il minore $|(2,0),(1,h)|=2h$.
Caso 1: $h=0$
La matrice diventa $((2,0,0,0),(1,0,1,1),(0,1,0,0))$, dunque ha rango $3$.
Caso 2: $h\ne 0$ il rango è maggiore o uguale di $2$. Orliamo il nostro minore non nullo negli unici due modi possibili:
1) $|(2,0,0),(1,h,1),(0,1,h)|=2h^2-2=2(h^2-1)=2(h+1)(h-1)$
2) $|(2,0,-2h),(1,h,1),(0,1,0)|=-2h-2=-2(h+1)$
dunque
Sottocaso 2a: $h=-1$ il rango è $2$
Sottocaso 2b: $h=1$ il rango è $3$ ( il minore 2) di ordine 3 è non nullo)
Sottocaso 2c: $h\ne 1,-1$ il rango è $3$.
Paola
Grazie mille, ma per aver detto che devi completare vuol dire che negli altri punti i ragionamenti sono sbagliati ?
Il ragionamento del punto 2) è un po' intricato mi sembra. $U$ ha dimensione $2$, quindi affinchè la somma sia diretta, la dimensione di $W_h$ deve essere al massimo $2$. Credo che sia quello che volevi dire, ma una cosa che hai sbagliato è stato dare per scontato che la dimensione della somma dovesse essere $4$. Somma diretta significa solo che i sottospazi hanno ${0}$ come intersezione , non che spannano tutto lo spazio.
In ogni caso, l'unico caso in cui la dimensione di $W_h$ è strettamente minore di $3$ è $h=-1$: resta da controllare se l'intersezione tra $W_h$ e $U$ è il vettore nullo, sai farlo?
Per l'ultimo punto devi controllare che il sistema $A\mathbf{x}=b$ abbia soluzione (non unica necessariamente). Qui con $A$ indico la matrice avente come colonne i generatori di $W_h$ e $b=((0),(-5),(1),(-8))$. Puoi utilizzare la discussione sul rango di $A$ fatta al punto 1) (tu l'hai fatta per la sua trasposta, che ha rango uguale).
C'è un topic sui sistemi lineari in evidenza in questa sezione, se avessi bisogno. Mi dispiace ma non posso farti tutti i conti
.
Paola
In ogni caso, l'unico caso in cui la dimensione di $W_h$ è strettamente minore di $3$ è $h=-1$: resta da controllare se l'intersezione tra $W_h$ e $U$ è il vettore nullo, sai farlo?
Per l'ultimo punto devi controllare che il sistema $A\mathbf{x}=b$ abbia soluzione (non unica necessariamente). Qui con $A$ indico la matrice avente come colonne i generatori di $W_h$ e $b=((0),(-5),(1),(-8))$. Puoi utilizzare la discussione sul rango di $A$ fatta al punto 1) (tu l'hai fatta per la sua trasposta, che ha rango uguale).
C'è un topic sui sistemi lineari in evidenza in questa sezione, se avessi bisogno. Mi dispiace ma non posso farti tutti i conti
.Paola
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