Sottospazi equivalenti e dimensione di un sottospazio.
Buona sera a tutti, ho provato a risolvere da me questo esercizio e vorrei essere certo che sia corretto! Posto qui di seguito:
Siano U e V due sottospazi dello spazio vettoriale F delle funzioni $RR->RR$; e sia $U=Span(e^x,e^-x,cosh(x))$, $V=Span(e^x,cosh(x))$. Dire se i due sottospazi siano equivalenti e calcolare la dimensione di U.
Se i due sottospazi vettoriali sono equivalenti; allora significa che a partire dalla base di uno si possono generare tutti i vettori dell'altro sottospazio. Comincio ad osservare, per quanto concerne il sottospazio U, che ha dimensione 2; difatti dei 3 generatori si evince, per esempio che $cosh(x)$ può essere scritto come combinazione lineare dei primi due: siano infatti $lambda, lambda',lambda''$ due coefficienti si avrà che $lambda*e^x+lambda'*e^-x+lambda''cosh(x)=0$ per $lambda=lambda'=-1/2,lambda''=1$ ed $x=0$. Per cui tutte le basi del sottospazio U sono composte da due vettori. Per dimostrare che i sottospazi U e V sono equivalenti, osservo che una base di U é uguale ad una base di V $(e^x,cosh(x))$; quindi sicuramente tutti gli elementi del secondo si possono ottenere a partire dalla base del primo sottospazio(U). Quindi i due sottospazi sono equivalenti. Ovviamente per quanto riguarda V; siano $e^x,cosh(x)$ i due generatori del sottospazio, sono sicuramente linearmente indipendenti e, quindi formano una base...
Grazie a tutti. Perdonate eventuali errori gravi
Siano U e V due sottospazi dello spazio vettoriale F delle funzioni $RR->RR$; e sia $U=Span(e^x,e^-x,cosh(x))$, $V=Span(e^x,cosh(x))$. Dire se i due sottospazi siano equivalenti e calcolare la dimensione di U.
Se i due sottospazi vettoriali sono equivalenti; allora significa che a partire dalla base di uno si possono generare tutti i vettori dell'altro sottospazio. Comincio ad osservare, per quanto concerne il sottospazio U, che ha dimensione 2; difatti dei 3 generatori si evince, per esempio che $cosh(x)$ può essere scritto come combinazione lineare dei primi due: siano infatti $lambda, lambda',lambda''$ due coefficienti si avrà che $lambda*e^x+lambda'*e^-x+lambda''cosh(x)=0$ per $lambda=lambda'=-1/2,lambda''=1$ ed $x=0$. Per cui tutte le basi del sottospazio U sono composte da due vettori. Per dimostrare che i sottospazi U e V sono equivalenti, osservo che una base di U é uguale ad una base di V $(e^x,cosh(x))$; quindi sicuramente tutti gli elementi del secondo si possono ottenere a partire dalla base del primo sottospazio(U). Quindi i due sottospazi sono equivalenti. Ovviamente per quanto riguarda V; siano $e^x,cosh(x)$ i due generatori del sottospazio, sono sicuramente linearmente indipendenti e, quindi formano una base...
Grazie a tutti. Perdonate eventuali errori gravi
Risposte
Chiedo scusa, ho fatto un bel pasticcio. Sono lineamenti indipendenti quelle 3 funzioni. Lo si capisce subito dando 3 valori arbitrari ad x. E risolvendo il sistema si evince che gli unici a, b e c che soddisfano il sistema sono 0 0 0. Per cui la dimensione é 3... Ma per verificare l'equivalenza dei due sottospazi?
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