Sottospazi ed equazioni cartesiane

[Reoscuro1]

Salve, vi propongo il seguente esercizio:

Sia [ a ; b ; c ] una base ortogonale di \(\displaystyle R^3 \), e siano:
S: { X \(\displaystyle \in \) \(\displaystyle R^3 \) | X = \(\displaystyle \lambda \) [ a x (kb)] + \(\displaystyle \mu \) [ b x (kc)] }
T: { X \(\displaystyle \in \) \(\displaystyle R^3 \) | c \(\displaystyle \cdot \) X = 0 }
a) Dimostrare che T è sottospazio vettoriale. (2 punti).
b) Stabilire equazioni cartesiane, una base e la dimensione di S. (1 punto).
c) Analogamente per T. (1 punto).
d) Ovviamente anche per S + T. (1 punto).

Per i primi 3 punti non ho problemi, solo che non riesco a determinare un' equazione cartesiana per S+ T. Qualcuno potrebbe darmi un suggerimento?

[vittorino70]

Trovo che :
$dim(S)=2$,$dim(T)=2$, $dim(S \and T)=1$ e quindi $dim(S+T)=2+2-1=3$
Da ciò seguirebbe che $S+T$ è tutto $RR^3$ e dunque le sue equazioni sarebbero del tipo :
$x=u,y=v,z=w$ con $u,v,w$ reali qualunque. Mi chiedo se questo è possibile...

[Reoscuro1]

"Sergio":Ma una base di $S+T$ la sai trovare?

Una base di S+T è ad esempio [a;b;c]. Da qui segue un equazione parametrica di S+T:
X = \(\displaystyle \alpha \) a + \(\displaystyle \beta \) b + \(\displaystyle \gamma \) c. O mi sbaglio?