Sottospazi e basi nello spazio R delle matrici 2x2

[melarco]

salve a a tutti!
Devo risolvere un esrcizio e non sono sicuro di aver fatto bene...
nello spazio delle matrici 2x2 devo dire se : W={ $((a,b),(c,d))$ a=b e c=d };
W1={ $((a,b),(c,d))$ a+c=b+d=0 };

Sono entrambi sottospazi ??.
Io ho fatto in questo modo..
Per W ho verificato la prima proprieta: presi due elemnti di W, avrò
$((b,b),(d,d))$ + $((f,f),(h,h))$ =$((b+f,b+f),(d+h,d+h))$ $ \in $ W. la prima è verificata!
la seconda proprieta .Prendiamo un k $\in$ K allora
k x $((b,b),(d,d))$= $((kb,kb),(kd,kd))$ $\in$. ok anche questa.

3 proprieta .la matrice $((0,0),(0,0))$ $\in$ W ? Si ok
posso affermare che è un sottospazio
Per W1 invece:
1 proprietà Ok
$((-c,-d),(c,d))$ + $((-g,-h),(g,h))$ =$((-c-g,-d-h),(c+g,d+h))$ $ \in $ W1
2 proprietà OK
K x $((-c,-d),(c,d))$ =$((-kc,-kd),(kc,kd))$ $ \in $ W1
3 proprietà ok
$((0,-0),(0,0))$ $ \in $ W1
Quindi anche W1 è un sottospazio!
Ora dovrei trovare una base di W $ \cap $ W1 e una base di W $ \cup $ W1.
Come si procede? quale è il ragionamento preciso potreste aiutarmi? grazie mille

[Gi81]

Come sarà fatta una generica matrice di $W \cap W_1$?

[melarco]

Grazie per la risposta!
E' proprio questo il punto a me nn chiaro.
Per me l' intersezione dei due sottospazi è vuota.Infatti facendo l 'interzezione delle basi dei due sottospazi in questione
ho un insieme vuoto:
W: { $((1,1),(0,0))$ , $((0,0),(1,1))$ }
W1: { $((-1,0),(1,0))$ , $((0,-1),(0,1))$ }.
é quindi la base dell' intersezione non c'è???
grazie

[Gi81]

"melarco":Per me l' intersezione dei due sottospazi è vuota

Beh, vuota è impossibile. Se fai l'intersezione tra due sottospazi qualunque c'è sempre almeno l'elemento neutro (nel nostro caso la matrice nulla).

In realtà qui ci sono anche altri elementi: $((1, 1),(-1, -1))$, ad esempio, appartiene ad entrambi.
Come ho fatto? Ho messo a sistema le condizioni di entrambi: ${(a=b),(c=d),(a+c=0),(b+d=0):}$
Si trova così: ${(a=b),(c=d),(a= -c),(b= -d):}=> a=b= -c = -d $
Quindi una generica matrice di $W \cap W_1$ sarà del tipo $((a,a),(-a,-a))$, con $a in RR$
Ecco, la dimensione dell'intersezione è $1$.

[melarco]

grazie tanto per la risposta..
e per W $\cup $ W1 come si ragiona ?

[Gi81]

L'unione non è un sottogruppo.

Prendi $((1,1),(0,0))$ e $((-1,0),(1,0))$: entrambi appartengono all'unione.
Ma se fai la somma ottieni $((0,1),(1,0))$, che non appartiene all'unione.

[melarco]

grazie ancora
quindi alla fine posso affermare che la base di W $ \cap $ W1: { $((1,1),(-1,-1))$ } ;
mentre il secondo non è sottospazio;

[Gi81]

Non è che forse l'esercizio ti chiedeva di trovare una base per la somma $W + W_1$?

[melarco]

si mi richiedeva di trovare una base per la somma..quindi quello che ho affermato nn è giusto???

[melarco]

chiedo scusa per l' imprecisione...
ma purtroopo nn sono sicuro su quale sia la base della somma dei due sottospazi
mi potreste aiutare sono un po confuso..
grazie per la disponibilità