Sottospazi e applicazioni lineari

[0EMME]

Salve a tutti è da un pò che ho un enorme problema con questo quesito dato dal professore, e per quanto mi sforzi non riesco a strutturare un procedimento per risol
verlo:

Sono dati tre spazi vettoriali:
$ S={[[x_1],[x_2],[x_3]] in RR^3 | x_1-x_2+x_3 = 0}$;

$ V = { f in text{Lin} (RR^3,RR^2) |text { Imf } sub S}$ ;

$ W = { f in text {Lin} (RR^3,RR^3)| [[1],[-1],[0]]in text {Kerf}}$;

Dimostrare che V e W sono sottospazi di $text{Lin} (V,W)$ . Calcolare e trovare una base per V e W.

Purtroppo tutto ciò che riesco a fare è risolvere l'equazione di S e trovare che i suoui elementi sono $text{Span} ([[1],[1],[0]];[[-1],[0],[1]])$; ma poi non so andare avanti ....potreste darmi una mano a capire come procedere? Un grazie in anticipo.

[0EMME]

in realtà non capisco cosa intendi: S è il sottospazio delle soluzioni del sistema omogeneo ( che è anche sottinsieme di $RR^3$) e V è formato dalle funzioni da $RR^3$ in $RR^2$ in cui il sottospazio delle immagini è un sottinsieme di S.

[perplesso1]

Quello che dice Sergio è che $ Imf $ è un insieme di vettori di $ R^2 $ mentre $ S $ è un insieme di vettori di $ R^3 $ La condizione $ Imf \ subset S $ non può mai essere verificata (infatti l'intersezione $ R^2 \cap R^3 $ è vuota ) e quindi $ V $ risulterebbe vuoto...

[0EMME]

e se il prof avesse sbagliato a scrivere e fosse invece che $V={f in text{Lin}(RR^2,RR^3) | text {Imf} sub S}$ si potrebbe fare? cioè a me interessa se mi potete aiutare a capire come risolvere un esercizio di tal genere....